ABA是逆當(dāng)且僅當(dāng)ABAB = E,即(AB)^2 = E.
充分性：記C=AB,若rank(E-C) + rank(E+C) = n,考慮下述的分塊矩陣用一系列初等變換：
E+C 0
0 E-C
E+C E-C
0 E-C
2E E-C
E-C E-C
2E E-C
0 E-C - (E-C)(E-C)/2
2E 0
0 E-C - (E-C)(E-C)/2
由于初等變換保秩,所以第一個矩陣和最后一個矩陣秩相等.
第一個矩陣由條件秩為n,所以最后一個矩陣中分塊的部分
E-C - (E-C)(E-C)/2 = (E+C)(E-C)/2 = 0
所以C^2 = E,證畢.這是比較常用的方法，可以處理很多矩陣的秩不等式