證明：總存在只由0和1兩個(gè)數(shù)組成的十進(jìn)制數(shù)M,它是正整數(shù)N的倍數(shù).
如題,如：
N=3,M=111；
N=4,M=100；
N=5,M=10；
N=6,M=1110；
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我知道你的意思：1,11,111,1111…中必有兩個(gè)數(shù)模N余數(shù)相同（但是怎么證明得到呢），設(shè)其為a1和a2，則a2-a1=0(mod N)。
證明：假設(shè)序列1,11,111,1111…用A1~AN標(biāo)識(shí)，下腳標(biāo)N即為1的個(gè)數(shù)，如：A1=1,A2=11,A3=111…
其中沒有一個(gè)是N的倍數(shù)，即AK mod N不等于0（K屬于1~N），并且AK mod N的余數(shù)各不相同，設(shè)它們?yōu)閍1,a2,a3,…,aN，但AK mod N的余數(shù)最多只有N-1個(gè)不同，則由鴿巢原理可知，a1,a2,a3,…,aN中必有兩個(gè)相同，即ai=aj(j>i)，則Aj-Ai=0(mod N)，Aj-Ai即為所求的0和1組成的十進(jìn)制數(shù)M，得證。