如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為AB的中點(diǎn)，N為BB1的中點(diǎn)，O為平面BCC1B1的中心．（1）過O作一直線與AN交于P，與CM交于Q（只寫作法，不必證明）；（2）求PQ的長．

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為AB的中點(diǎn)，N為BB₁的中點(diǎn)，O為平面BCC₁B₁的中心．

（1）過O作一直線與AN交于P，與CM交于Q（只寫作法，不必證明）；
（2）求PQ的長．

數(shù)學(xué)人氣：330 ℃時(shí)間：2019-11-07 03:22:42

優(yōu)質(zhì)解答

（1）連接ON，由ON∥AD知，AD與ON確定一個(gè)平面α．又O、C、M三點(diǎn)確定一個(gè)平面β（如圖所示）．
∵三個(gè)平面α，β和ABCD兩兩相交，
有三條交線OP、CM、DA，其中交線DA與交線CM不平行且共面．
∴DA與CM必相交，記交點(diǎn)為Q，∴OQ是α與β的交線．
連接OQ與AN交于P，與CM交于Q，
故直線OPQ即為所求作的直線．
（2）在Rt△APQ中，易知AQ=1，又易知△APQ∽△OPN，
∴

=2，AN=

，∴AP=

，
∴PQ=

AQ2+AP2

．

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如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為AB的中點(diǎn)，N為BB1的中點(diǎn)，O為平面BCC1B1的中心． （1）過O作一直線與AN交于P，與CM交于Q（只寫作法，不必證明）； （2）求PQ的長．

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如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為AB的中點(diǎn)，N為BB1的中點(diǎn)，O為平面BCC1B1的中心．（1）過O作一直線與AN交于P，與CM交于Q（只寫作法，不必證明）；（2）求PQ的長．