設函數(shù)f（x）是周期為2012的連續(xù)函數(shù)．證明：存在ξ∈[0，2011]使得f（ξ）=f（ξ+1）．

數(shù)學人氣：151 ℃時間：2020-01-27 08:19:25

優(yōu)質解答

記F（x）=f（x）-f（x+1），
由f（x）的性質知，F(xiàn)（x）是周期為2012的連續(xù)函數(shù)．
因為
F（0）+F（1）+…+F（2011）
=f（0）-f（1）+f（1）-f（2）+…+f（2011）-f（2012）
=f（0）-f（2012）=0，
?i∈{0，1，…，2011}使得F（i）=0，則取ξ=i即可；
否則，必然存在i，j∈{0，1，…，2011}，使得F（i）?F（j）＜0，
從而根據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點存在定理可得，
存在ξ∈[0，2011]，使得F（ξ）=0，
即：f（ξ）=f（ξ+1）．