（1）求拋物線解析式有兩種思路：
思路一：把已知的三點坐標代入解析式,求出abc即可;
思路二：把拋物線解析式設為 y = a [ x --( 2+√5 )] [ x --( 2--√5 )]
再把 （ 0,--1 ）代入求出a即可.
求得的拋物線解析式為：y = x² --4x --1
y = ( x -- 2 )² -- 5(其對稱軸為 x = 2 )
(2)以AB為直徑的圓M經(jīng)過點 C .理由：
∵ A、 B關于x 軸對稱
∴ 以 AB 為直徑的圓的圓心M 在對稱軸上
∴ M 坐標為 （ 2 ,0 ）
∵ 圓M的直徑AB = （ 2 + √5 ）--（ 2 -- √5 ）
=2√5
∴圓M的半徑為 √5 --------- （1）
在Rt△MOC 中,由勾股定理得：
MC² = MO² + OC²
= 2² + 1²
= 5
∴ MC = √5 -------------- （2）
由 （1）（2） 知 以AB為直徑的圓M經(jīng)過點 C .
（3）存在以線段EF為直徑的圓N恰好與X軸相切,
圓N的半徑為 （ √21 + 1 ）/ 2 或 （ √21 -- 1 ）/ 2 .
理由：
設圓N半徑為 r , 圓N 與x 軸相切,分兩種情形：
情形1： 當切與x軸上方時
直線EF 可表示為 y = r（該直線平行于x軸,且與x軸距離為 r ）
∵ EF是直徑
∴ EF = 2r
解方程組 y = x² -- 4x--1 與y =r得
x² -- 4x -- (1 + r ) = 0它的兩根分別為 E和 F的橫坐標.
∵ EF = 2r
∴ 兩根之差 x2-- x1 =2r
∴（ x2 -- x1 ）²= （ 2r ）²
∴（ x2 + x1 ）² -- 4x1x2=4r²
∴ 4 ² -- 4× [ -- ( 1 + r ) ] =4r²
∴r² -- r -- 5 =0
∴r = （ 1 +√21 ）/2 （負值已舍）

情形2：當切于x軸下方時
設直線EF為 y = -- r ( r ＞0 )
由 x² -- 4x -- 1=--r及 （ x2 -- x1 ）² =（ 2r ）²得
r² + r --5 = 0
r = （ √21 -- 1 ）/2 ( 負值已舍)
總結： 1、 熟練掌握在不同情形下 恰當 設拋物線解析式；
2、 注意分類討論,全面考慮問題；
3、平時解題,注意嚴格提高"快速形成思路" 和 " 快速形成卷面" 的能力.