當n=1時，左端=4，右端=1，左端＞右端；
當n=2時，左端=6，右端=4，左端＞右端；
當n=3時，左端=10，右端=8，左端＞右端；
于是可猜測：2ⁿ+2＞n²（n∈N^*）．
證明：：①當n=1、2、3時，均有左端＞右端，不等式成立；
②假設(shè)n=k（k≥3，k∈N^*）時不等式成立，即2^k+2＞k²；
則當n=k+1時，
左邊=2^k+1+2=2×（2^k+2）-2＞2k²-2=k²+k²-2，
右邊=（k+1）²=k²+2k+1，
∵k²+k²-2-（k²+2k+1）=k²-2k-3=（k-3）（k+1）≥0，
∴當k≥3時，k²+k²-2≥（k+1）²，
即當n=k+1時，2^k+1+2＞（k+1）²，不等式成立；
綜上所述，2ⁿ+2＞n²（n∈N^*）．