把 S1 + S3 + ... + S(2n-1) 記作 A(n)
n = 1, S1 = 1
n = 2, S1 + S3 = 16
n = 3, S1 + S3 + S5 = 81
...
猜測(cè)還是簡(jiǎn)單的,就是 n^4
數(shù)學(xué)歸納法證明：
首先對(duì)于 n = 1, A(n) = S1+...+S(2n-1) = 1 符合
然后假定對(duì)于 n 成立,那么我們來(lái)看對(duì)于 n + 1,
A(n+1) = A(n) + S(2n-1) = n^4 + S(2n+1)
只要證明 S(2n+1) = (n+1)^4 - n^4, 數(shù)學(xué)歸納法證明就 ok 了.好,現(xiàn)在讓我們看看 S(2n+1) 是什么東西：
首先 Sn 是 n 個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加之和；
其次,Sn 的起始點(diǎn)恰好在1+2+3+...+(n-1) 之后.就是說(shuō)如果用 Bn 表示 1+2+3+...+(n-1),Sn 就是 (Bn+1)+(Bn+2) +...+(Bn+n), 即
Sn = n*Bn + 1+2+3+...+n = (n+1)Bn + n
至于 Bn = 1+2+3+...+(n-1) 這個(gè)問(wèn)題,高斯的故事大家都聽(tīng)過(guò),就不重復(fù)了,結(jié)果是 Bn = n(n-1)/2
所以,有
Sn = n(n-1)(n+1)/2 + n
至于 S(2n+1),那就是：
S(2n+1) = (2n+1)(2n)(2n+2)/2 + (2n+1)
S(2n+1) = 2n(n+1)(2n+1) + 2n + 1
S(2n+1) = (2n+1)(2n^2 + 2n + 1)
而 A(n+1) - A(n) 呢?
(n+1)^4 - n^4 = ((n+1)^2) + n^2)((n+1)^2 - n^2) = (2n^2 +2n + 1)(n+1 + n)(n+1 -n) =(2n+1)(2n^2 + 2n + 1)
不就是 S(2n+1) 么