充分性
1.n=1時正約數(shù)1個,是奇數(shù)
2.n>1時
n^2的約數(shù):1...n...n^2
1和n之間每多一個約數(shù),例如m,那么n到n^2之間就會多一個約數(shù)n^2/m
就是說除了這三個約數(shù),其他的約數(shù)是成對出現(xiàn)的,也就是說約數(shù)的個數(shù)
是3+偶數(shù),結(jié)果必為奇數(shù)
必要性：
1.如果一個數(shù)的公約數(shù)是1和他本身,那它就是質(zhì)數(shù),肯定不是完全平方數(shù)
2.如果一個數(shù)m的公約數(shù)是1和他本身m,還有其他的公約數(shù),我們設(shè)其中一個數(shù)為p,那么必定存在一個約數(shù)m/p
也就是說公約數(shù)是成對出現(xiàn)的,除非這兩個數(shù)相等,也就是同一個數(shù),否則公約數(shù)的個數(shù)就肯定是偶數(shù)
所以p是m的完全平方根時,公約數(shù)個數(shù)是奇數(shù),
p不是m的完全平方根時,公約數(shù)個數(shù)是偶數(shù).