如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D是BC上的任意一點，探究：BD2+CD2與AD2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D是BC上的任意一點，探究：BD
2+CD
2與AD
2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
數(shù)學人氣：634 ℃時間：2019-11-15 07:14:41
優(yōu)質(zhì)解答
探究得到的關(guān)系為：BD
2+CD
2=2AD
2證明：作AE⊥BC于E，如上圖所示：
由題意得：ED=BE-BD=CD-CE，
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=
BC，
由勾股定理可得：
AB
2+AC
2=BC
2，
∵AE
2=AB
2-BE
2=AC
2-CE
2，AD
2=AE
2+ED
2，
∴2AD
2=2AE
2+2ED
2=AB
2-BE
2+（BE-BD）
2+AC
2-CE
2+（CD-CE）
2
=AB
2+AC
2+BD
2+CD
2-2BD×BE-2CD×CE，
=AB
2+AC
2+BD
2+CD
2-2×
BC×BC，
=BD
2+CD
2，
即：BD
2+CD
2=2AD
2．
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