數(shù)列綜合
數(shù)列作為特殊的函數(shù),在很多問題上的解決方法都與函數(shù)相似.比如,在分析數(shù)列性質(zhì)時(shí),往往都要從數(shù)列中每一項(xiàng)的下標(biāo)分析入手,這一點(diǎn),與解決函數(shù)問題時(shí)要從對(duì)自變量的分析入手一樣.函數(shù)與方程及不等式有著密切的聯(lián)系,所以,數(shù)列問題又可與方程和不等式相結(jié)合.因此,在解決數(shù)列問題時(shí),要注意重在方法上與函數(shù)、方程、不等式相類比,同時(shí)也充分關(guān)注到數(shù)列本身的一些特殊性質(zhì).
1．已知是關(guān)于的一次函數(shù),是關(guān)于的二次函數(shù),的圖象是開口向下,對(duì)稱軸為的拋物線,數(shù)列滿足,而恰為數(shù)列的前項(xiàng)和.
（1）證明為等差數(shù)列,說明首項(xiàng)a1與公差d的符號(hào)；
（2）求出滿足的最大正整數(shù),判斷此時(shí)與的大小,并說明理由；
（3）當(dāng)a1=21時(shí),求出與的解析式.
分析：本題考查等差數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,綜合考查數(shù)列與函數(shù)的綜合.
解析：
（1）設(shè),
∴,
∴（常數(shù)）
∴是公差為k的等差數(shù)列.
∴
∴,
又的圖象開口向下,且對(duì)稱軸為
∴的公差d=k＜0且
∴
∴
（2）
令
∴,∴
∵n∈N*,∴滿足的最大正整數(shù)n=6.
∴
∴
,∴
（3）,∴k=－4,b=25,
∴,
反思：對(duì)于第（2）問,可以結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及等差數(shù)列性質(zhì),
法二：∵開口向下,對(duì)稱軸且由等數(shù)列前n項(xiàng)和公式可知
∴圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為.
∴S11= 11a6＞0,S12=6(a6+a1)＜0
∴a6＞0,a7＜0
∴a1＞a2＞a3＞…＞a6＞0＞a7＞a8＞…
2．已知點(diǎn)是函數(shù)（a＞0且a≠1）的圖象上的一點(diǎn),等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列（）的首項(xiàng)為c,且前n項(xiàng)和滿足.
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列前n項(xiàng)和為,問的最小正整數(shù)n是多少?
分析：本題考查數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用,與的關(guān)系,以及特殊數(shù)列求和及不等式的相關(guān)知識(shí),解題過程中注重化歸為基本問題.
解析：
（1）∵,∴
∴,

∵是等比數(shù)列,∴
∴c=1且公比
∴,
∵
,∴且b1=S1=1
∴是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列
∴（）,
∴當(dāng)n≥2時(shí)
當(dāng)n=1時(shí)b1=1=2×1－1
綜上,（）
（2）
∴

由得
∴滿足的最小正整數(shù)n=112.
3．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知對(duì)任意的n∈N+,點(diǎn)均在函數(shù)（b＞0且b≠1,b,r均為常數(shù)）的圖像上.
（1）求r的值；
（2）當(dāng)b=2時(shí),記（n∈N+）,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
分析：本題考查與的關(guān)系,即由求,以及特殊數(shù)列求和.
解析：
（1）由已知
∴a1=S1=b+r,a2=S2－S1=b2－b,a3=S3－S2=b3－b2
∵是等比數(shù)列,∴
∴(b2―b)2=(b+r)(b3―b2),化簡(jiǎn)得(1+r)(b－1)·b2=0
∵b＞0且b≠1,∴1+r=0,r=－1
（2）由（1）知
∴a1=S1=1,
∴,
∴ ①
②
①－②：

∴
反思：錯(cuò)位相減求和時(shí)注意運(yùn)算.
4．曲線C：y=(x+a)3（a≠0）,以P0（0,a3）為切點(diǎn),作曲線C的切線交x軸于Q1,過Q1作x軸的垂線交曲線C于P1（x1,y1）；以P1（x1,y1）為切點(diǎn)作曲線C的切線交x軸于Q2,過Q2作x軸的垂線交曲線C于P2（x2,y2）；如此繼續(xù)下去,得到點(diǎn)列
（1）求與的關(guān)系（n≥2）；
（2）求,的通項(xiàng)公式.
分析：本題考查導(dǎo)數(shù),數(shù)列的相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用.
解析：
（1）
∴過點(diǎn)的切線方程
其中
令y=0,∴
若存在n0使,則當(dāng)n0=0時(shí),與已知矛盾!
∴,
∴,∴
∴
（2）且,
∴是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列
∴,∴

反思：注意題目中出現(xiàn)了形如的遞推關(guān)系,可利用如下待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式.
令 ,∴
∴,
∴
∴在時(shí)數(shù)列即為公比是p的等比數(shù)列.
5．已知曲線（n=1,2,…）.從點(diǎn)P（－1,0）向曲線引斜率為的切線,切點(diǎn)為.
（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
（2）證明：.
分析：本題綜合考查圓、函數(shù)、數(shù)列相關(guān)知識(shí),包括圓的切線,不等式放縮,函數(shù)單調(diào)性,求函數(shù)最值等,注意化歸,同時(shí)關(guān)注幾何圖形及方法應(yīng)用.

解析：
（1）圓,圓心,半徑
∴,
∴,即
由得
∴,即
（2）,
∴
∴
∴
又,
令,∴
令得
對(duì)給定區(qū)間有,∴在單調(diào)遞減
∴,即
而當(dāng)n≥1時(shí)2n+1≥3,∴
∴即.
反思：本題（1）問充分關(guān)注了幾何圖形特征,利用平面幾何知識(shí)求解,計(jì)算量小,第（2）問綜合了數(shù)列單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性問題,注意方法的比較.
課后練習(xí)
1．已知函數(shù),M（x1,y1）,N（x2,y2）是圖象上的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)為的點(diǎn)P滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若,其中n∈N*,且n≥2,求；
（Ⅲ）已知,其中n∈N*,為數(shù)列的前n項(xiàng)和,
若對(duì)一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.
2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）.
（Ⅰ）令,求證數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令,試比較與的大小,并予以證明.
參考答案：
1．解析：
（Ⅰ）證：由已知可得,
∴P是MN的中點(diǎn),有x1+x2=1.
∴


（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)x1+x2=1時(shí),
,
,
相加得


∴
（Ⅲ）當(dāng)n≥2時(shí),
.
又當(dāng)n=1時(shí),
∴.

.
由于對(duì)一切n∈N*都成立,

∵,當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí),取“=”,
∴.
因此.
2．解析：
（Ⅰ）在中,
令n=1,可得,即
當(dāng)n≥2時(shí),∴,
∴,即.
∵,∴,
即當(dāng)n≥2時(shí),.
又b1= 2a1=1,∴數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.
于是,∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得,所以


由①－②得

∴

于是確定與的大小關(guān)系等價(jià)于比較與2n+1的大小
由2＜2×1+1；22＜2×2+1；23＜2×3+1；24＜2×4+1；25＜2×5+1；……
可猜想當(dāng)n≥3時(shí),.
證明如下：
證法1：
（1）當(dāng)n=3時(shí),由上驗(yàn)算顯示成立.
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)猜想也成立.
則當(dāng)n=k+1時(shí)
所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立.
綜合（1）（2）可知,對(duì)一切n≥3的正整數(shù),都有.
證法2：當(dāng)n≥3時(shí)

綜上所述,當(dāng)n=1,2時(shí),當(dāng)n≥3時(shí).