f(x)=(x²+2x+a)/x
=x+(a/x)+2
x∈[1,＋∞).
(1)當(dāng)a=1/2時(shí),f(x)=x+1/(2x)+2
此函數(shù)是對鉤函數(shù),在(0,√2/2]遞減,在[√2/2,+∞)遞增,
∵x∈[1,＋∞).
∴f(x)min=f(1)=1+1/2+2=7/2
(2)對任意x∈[1,＋∞).f(x)＞0恒成立,則
f(x)=(x²+2x+a)/x
=x+(a/x)+2
分類討論：
若a＞0,則對任意x∈[1,＋∞).x+a/x＞0,所以f(x)＞0恒成立
若a=0,則f(x)=x+2,對任意x∈[1,＋∞).f(x)＞0恒成立
若a＜0,則x和a/x在區(qū)間[1,+∞)同為增函數(shù),即f(x)是增函數(shù),此時(shí)只要f(1)=1+a+2＞0,即a＞-3,即可使得f(x)>0恒成立
綜上所述,a的取值范圍是(-3,+∞)