設y'=p,則y''=p(dp/dy)
代入原方程得yp(dp/dy)=1+p²
==>pdp/(1+p²)=dy
==>ln(1+p²)=2ln│y│+C (C是積分常數(shù))
∵y(1)＝1,y'(1)=0
∴當x=1時,p=1 ==>C=0
∴l(xiāng)n(1+p²)=2ln│y│
==>1+p²=y²
==>y'=√(y²-1),或y'=-√(y²-1)
==>dy/√(y²-1)=dx,或dy/√(y²-1)=-dx
==>ln│y+√(y²-1)│=x+C,或ln│y+√(y²-1)│=-x+C （C是積分常數(shù)）
∵y(1)＝1
∴C=-1,或C=1
==>y+√(y²-1)=e^(x-1),或y+√(y²-1)=e^(1-x)
故原方程滿足初值的解是y+√(y²-1)=e^(x-1),或y+√(y²-1)=e^(1-x).