顯然等于n是不可能的了.
然后證明比如前n-1列是線性無關(guān)的.第n列就寫作A_n
假設(shè)存在一組不全為0的系數(shù) b_1 b_2 ...b_{n-1} 使得 b_1A_1 + b_2A_2 + ...+ b_{n-1}A_{n-1} = 0
那么設(shè)其中最大的一個(gè)是 b_k 顯然這個(gè) b_k 要大于0吧,要不第 n行就有問題了,因?yàn)榍皀-1列的第n行的數(shù)都是小于0的,系數(shù)再都0了.
考慮第k行,除了第k列之外,其他的數(shù)都= a_kj * b_k
所以和的第k行是 b_1*a_k1 + b_2*a_k2 + ...+ b_{n-1}*a_k{n-1} >= b_k*a_k1 + b_k*a_k2 + ...+ b_k*a_k{n-1} = b_k * (a_k1+ a_k2 + ...+ a_k{n-1} ) = b_k * ( - a_kn)
上面說了 b_k > 0 ,根據(jù)條件 a_kn < 0 （因?yàn)檫@里系數(shù)列的長(zhǎng)度只到n-1,k就不可能是n） 所以上面得到,和的第k行嚴(yán)格大于0,這就證明了前n-1列不可能線性相關(guān)
很久沒看過線性代數(shù)的東西了,我想還是會(huì)有特別簡(jiǎn)單的證明辦法的吧.