記B=(β1,β2,……βt),C=(α1,α2,……αs),則原等式方程可以表示為BA=C.取一s維縱向量x,有BAx=Cx,記Cx=y,亦是一個(gè)s維縱向量.另記s維縱向量z=Ax,那么有Bz=y.
·充分性：當(dāng)r(C)=r(B)=s,那么方程Cx=y、Bz=y均有唯一解,即對(duì)于確定的z,方程Ax=z亦有唯一解,此時(shí)必有r(A)=s
·必要性：把充分性的證明翻回去即可,當(dāng)r(A)=s,方程Ax=z有唯一解,即y=Bz唯一,即對(duì)于確定的y,方程Cx=y有唯一解,此時(shí)必有r(C)=s
設(shè)向量組α1,α2,……αs能由向量組β1,β2,……βt線性表示為（α1,α2,……αs）＝（β1,β2,……βt）A,其中A為t×s矩陣,且β1,β2,……βt線性無(wú)關(guān),證明：α1,α2,……αs線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是R（A）＝s
設(shè)向量組α1,α2,……αs能由向量組β1,β2,……βt線性表示為（α1,α2,……αs）＝（β1,β2,……βt）A,其中A為t×s矩陣,且β1,β2,……βt線性無(wú)關(guān),證明：α1,α2,……αs線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是R（A）＝s
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