如圖，已知點D為等腰直角△ABC內一點，∠CAD=∠CBD=15°．（1）求證：AD=BD；（2）E為AD延長線上的一點，且CE=CA，求證：AD+CD=DE；（3）當BD=2時，AC的長為_．（直接填出結果，不要求寫過程）

如圖，已知點D為等腰直角△ABC內一點，∠CAD=∠CBD=15°．

（1）求證：AD=BD；
（2）E為AD延長線上的一點，且CE=CA，求證：AD+CD=DE；
（3）當BD=2時，AC的長為______．（直接填出結果，不要求寫過程）

數學人氣：220 ℃時間：2019-08-18 08:49:13

優(yōu)質解答

（1）證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°．
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=30°．
∴AD=BD．
（2）證明：在DE上截取DM=DC，連接CM，
∵AD=BD，AC=BC，DC=DC，
∴△ACD≌△BCD．
∴∠ACD=∠BCD=45°．
∵∠CAD=15°，
∴∠EDC=60°．
∵DM=DC，
∴△CMD是等邊三角形．
∴∠CDA=∠CME=120°．
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAD．
∴△CAD≌△CEM．
∴ME=AD．
∴DA+DC=ME+MD=DE．
即AD+CD=DE．

（3）延長CD交AB于點H，則CH⊥AB，
∵∠HBD=30°，BD=2，
∴BH=BD?cos30°=

．
∴AC=BC=BH÷sin45°=

．

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