（1）∵f（1）=2，∴1+m=2，m=1．
（2）f（x）=x+

1

x

，f（-x）=-x-

1

x

=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．
（3）函數(shù)f（x）=

1

x

+x在（1，+∞）上為增函數(shù)，證明如下
設(shè)x₁、x₂是（1，+∞）上的任意兩個實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）=x₁-x₂+（

1

x1

-

1

x2

）
=x₁-x₂-

x1?x2

x1x2

=（x₁-x₂）

x1x2?1

x1x2

．
當(dāng)1＜x₁＜x₂時，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，從而f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）=

1

x

+x在（1，+∞）上為增函數(shù)．