b,c均為正實(shí)數(shù),且b2=ac,求證a4+b4+c4>(a2-b2+c2)2

數(shù)學(xué)人氣：480 ℃時(shí)間：2020-03-26 18:55:59

優(yōu)質(zhì)解答

由(a-c)²≥0得：
a²+c²-2ac≥0；
a²+c²-ac≥ac；
a,b,c均為正實(shí)數(shù)；即：a²+c²-ac>0.
(a²-b²+c²)²
=（a²-b²）²+c⁴+2c²(a²-b²)
=a⁴+b⁴-2a²b²+c⁴+2c²a²-2c²b²
=a⁴+b⁴-2a²ac+c⁴+2c²a²-2c²ac （把b²=ac代入得）
=a⁴+b⁴+c⁴-2a²ac+2c²a²-2c²ac
=a⁴+b⁴+c⁴-2ac(a²+c²-ac)
因?yàn)閍,b,c均為正實(shí)數(shù)；
所以：2ac(a²+c²-ac)為正實(shí)數(shù)；
所以a⁴+b⁴+c⁴ > a⁴+b⁴+c⁴-2ac(a²+c²-ac)
即證：a⁴+b⁴+c⁴ >(a²-b²+c²)².