∵AC=4，BC=2，AB=2

5

，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ACB為直角三角形，∠ACB=90°．
分三種情況：
如圖（1），過點D作DE⊥CB，垂足為點E．
∵DE⊥CB（已知）
∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定義），
∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形兩銳角互余），
∵△ABD為等腰直角三角形（已知），
∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定義），
∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定義），
∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），
在△ACB與△BED中，
∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已證），
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形對應邊相等），
∴CE=6（等量代換）
根據勾股定理得：CD=2

10

；
如圖（2），過點D作DE⊥CA，垂足為點E．
∵BC⊥CA（已知）
∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定義）
∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形兩銳角互余）
∵△ABD為等腰直角三角形（已知）
∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定義）
∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定義）
∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）
在△ACB與△DEA中，
∵∠ACB=∠DEA（已證）∠CAB=∠EDA（已證） AB=DA（已證）
∴△ACB≌△DEA（AAS）
∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形對應邊相等）
∴CE=6（等量代換）
根據勾股定理得：CD=2

13

；
如圖（3），過點D作DE⊥CB，垂足為點E，過點A作AF⊥DE，垂足為點F．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°，
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，
則ED=AF，
由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，
則四邊形CEFA是矩形，
故CE=AF，EF=AC=4，
設DF=x，則BE=x，
故EC=2+x，AF=DE=EF-DF=4-x，
則2+x=4-x，
解得：x=1，
故EC=DE=3，
則CD=3

2

．