標(biāo)題中的這個(gè)結(jié)論不成立.
只要是周期函數(shù),不論有沒(méi)有最小正周期,都存在兩個(gè)比值不是無(wú)理數(shù)(即為有理數(shù))的周期.
即便把條件加強(qiáng)為"任意兩個(gè)周期的比值都是有理數(shù)",函數(shù)也可能沒(méi)有最小正周期.
例如Dirichlet函數(shù)(有理數(shù)處取1,無(wú)理數(shù)處取0),其周期可以為任意有理數(shù).
不過(guò),正如你下面寫(xiě)的,其否命題是成立的:
若f(x)的某兩個(gè)周期的比值是無(wú)理數(shù),則f(x)不存在最小正周期.
也可以等價(jià)的敘述為逆命題
若f(x)存在最小正周期,則f(x)的任意兩個(gè)周期的比值都是有理數(shù).
證明就用:若f(x)存在最小正周期,則f(x)的任意周期均為最小正周期的整數(shù)倍.