人們對勾股定理的認識經(jīng)歷了從特殊到一般的過程,這在世界許多地區(qū)的數(shù)學(xué)原始文獻中都有反映．最早發(fā)現(xiàn)”勾三股四弦五”這一特殊關(guān)系的是古埃及人,這一事實可以追溯到公元前25世紀,中國古代數(shù)學(xué)家也較早獨立發(fā)現(xiàn)并證明過勾股定理,而對它的應(yīng)用更有許多獨到之處．勾股定理一般情況的發(fā)現(xiàn)和證明,那要歸功于古希臘的畢達哥拉斯．
中國最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭,記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識的對話：周公問：“我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通,我想請教一下：天沒有梯子可以上去,地也沒法用尺子去一段一段丈量,那么怎樣才能得到關(guān)于天地的數(shù)據(jù)呢?”商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認識.其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’（即直角）的一條直角邊‘勾’等于3,另一條直角邊‘股’等于4的時候,那么它的斜邊‘弦’就必定是5.這個原理是大禹在治水的時候就總結(jié)出來的呵.”
勾股的發(fā)現(xiàn)
從上面所引的這段對話中,我們可以清楚地看到,我國古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要數(shù)學(xué)原理了.稍懂平面幾何的讀者都知道,所謂勾股定理,就是指在直角三角形中,兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖所示,我們用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形的兩條直角邊,用弦（c）來表示斜邊,則可以得到：勾2+股2=弦2 亦即：a2+b2=c2
勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理,相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的.其實,我國古代得到人民對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用,遠比畢達哥拉斯早得多.如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話,那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期,比畢達哥拉斯要早了五百多年.其中所說的勾3股4弦5,正是勾股定理的一個應(yīng)用特例（32+42=52）.所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為勾股定理,應(yīng)該是非常恰當(dāng)?shù)?在稍后一點的《九章算術(shù)》一書中,勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達.書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘,然后把它們的積加起來,再進行開方,便可以得到弦.”把這段話列成算式,即為：弦=（勾2+股2）(1/2) 亦即：c=（a2+b2）(1/2)
滿足勾股定理的數(shù)組稱為勾股數(shù)（或商高數(shù)）.在西方,人們把這個定理的發(fā)現(xiàn)與證明歸功于古希臘的畢達哥拉斯,因而稱之為畢達哥拉斯定理,滿足定理的數(shù)組也就稱為畢達哥拉斯數(shù).但是1945年,人們在對古巴比倫人遺留下的一塊數(shù)學(xué)泥板的研究中,驚訝地發(fā)現(xiàn)上面竟然刻有15組勾股數(shù),其年代遠在商高和畢達哥拉斯之前,大約在公元前1900年到公元前l(fā)600年之間.這些勾股數(shù)組中有些是很大的數(shù),即使在今天也往往是人們所不熟悉的.這個數(shù)表使人們有理由相信,古巴比倫人早已掌握了勾股定
勾股的證明
理并很可能找到了一種求得勾股數(shù)的一般方法,只不過人們還不能從其他的泥板中找出更多的證據(jù)來證明這一點.
勾股趣事
畢達哥拉斯學(xué)派倒是明確地給出了勾股數(shù)的一組公式：一組勾股數(shù)的正整數(shù)a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1,其特點是斜邊與其中一股的差為1.
后來,另一個古希臘學(xué)者柏拉圖（Plato,約前427－前347）也給了另一組公式：a=2n,b=n2-1,c=n2+1,此時斜邊與其中一股之差為2.
被譽為“代數(shù)學(xué)鼻祖”的古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus,約330－246）也在研究二次不定方程的時候,對勾股數(shù)作了一番探討.他發(fā)現(xiàn)不論是畢達哥拉斯還是柏拉圖的式子,都沒能給出全部勾股數(shù)組,于是他找到了一個新方法：全部解的公式是a=2mn,y=m2-n2,z=m2+n2其中m,n（m>n）是互質(zhì)且一奇一偶的任意正整數(shù).
丟番圖究竟是如何得到這組式子的,人們今天已經(jīng)無從知曉.重要的是,這組式子包含了全部的勾股數(shù)組!
值得一提的是,在早于丟氏三、四百年的我國古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中,也提出了一組求勾股數(shù)的式子,這組式子相當(dāng)于：任意給定兩個正整數(shù)m,n(m＞n),那么這三個正整數(shù)就是一個整勾股數(shù)組.用代數(shù)方法很容易證明這一結(jié)論.公元3世紀,我國著名數(shù)學(xué)家劉徽從幾何上也證明了這一結(jié)論.
不難證明,如果上述m,n(m＞n),是互質(zhì)的奇數(shù),那么用《九章算術(shù)》中的法則可以求出所有兩兩互質(zhì)的整勾股數(shù)組.這也是我們中國古代數(shù)學(xué)家的一項杰出成就.
無論是古埃及人、古巴比倫人還是我們中國人誰最先發(fā)現(xiàn)了勾股定理,我們的先人在不同的時期、不同的地點發(fā)現(xiàn)的這同一性質(zhì),顯然不僅僅是哪一個民族的私有財產(chǎn)而是我們?nèi)祟惖墓餐敻?div style="margin-top:20px">