當(dāng)P是三角形ABC的重心
延長(zhǎng)AP交BC于D,再延長(zhǎng)到E,使|DE|=PD|,連接BE,EC
則：|PD|=(1/2)|PA|,|PE|=|PA|,向量PA=-向量PE
因D是BC中點(diǎn),又是PE中點(diǎn)
所以：PBEC是平行四邊形
所以：向量PB+向量PC=向量PE=-向量PA
向量PA+向量PB+向量PC=0向量
當(dāng)向量PA+向量PB+向量PC=0向量
作BE平行PC,CE平行PB,交于E
連接PE,交BC于D
則：PBEC是平行四邊形,所以：向量PE=向量PB+向量PC,同時(shí)D是BC中點(diǎn)
而：向量PA+向量PB+向量PC=0向量
所以：向量PA+向量PE=0向量
向量PA=-向量PE
所以：P,A,E共線,即AP延長(zhǎng)線與BC交于BC的中點(diǎn)
同理可證：BP延長(zhǎng)線與AC交于AC的中點(diǎn),CP延長(zhǎng)線與AB交于AB的中點(diǎn)
所以：P為三角形的重心
所以：在三角形ABC中,向量PA+向量PB+向量PC=0向量的充要條件是P為三角形的重心.