用數(shù)列極限的定義證明lim(n→∞) √(1+a2/n2)=1,其中的2是平方啊~

數(shù)學(xué)人氣：454 ℃時(shí)間：2020-02-05 04:03:44

優(yōu)質(zhì)解答

證明：因?yàn)?對(duì)于任意給定的ε>0,總存在N=[a2/ε]+1>0,使得當(dāng)n>N時(shí),有┃√(1+a2/n2)-1┃
=┃√((n2+a2)/n2)-1┃ （對(duì)根號(hào)內(nèi)通分）
={√(n2+a2)-n2}/n （把根號(hào)內(nèi)的分母開(kāi)出來(lái),再通分）
=a2/{n(√(n2+a2)+n2)} （分子有理化）
≤a2/n （適當(dāng)放大）
N=[a2/ε]+1>a2/ε）,
所以lim(n→∞) √(1+a2/n2)=1,證畢.
注意1：[a2/ε]表示不超過(guò)a2/ε的最大整數(shù).
注意2：N>a2/ε的需求是從a2/n