簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在不考慮摩擦和其他阻力等因素的影響時(shí),振動(dòng)過程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,所以不管是單擺還是彈簧振子在振動(dòng)過程中振幅始終保持不變,這種振動(dòng)稱為無阻尼振動(dòng).然而,實(shí)際的振動(dòng)總要受到阻力的影響,由于要克服阻力做功,振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能不斷減少.同時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)與周圍介質(zhì)相互作用,振動(dòng)向外傳播形成波,隨著波的傳播,系統(tǒng)的機(jī)械能不斷減少,因此振幅也逐漸減小.這種振幅逐漸減小的振動(dòng)叫做阻尼振動(dòng),阻尼振動(dòng)的圖象如圖1所示.
學(xué)生學(xué)完這節(jié)內(nèi)容后,存在兩方面疑問：一是阻尼振動(dòng)是否具有“周期性”,二是阻尼振動(dòng)是否具有“等時(shí)性”（振子連續(xù)兩次通過平衡位置的時(shí)間間隔相同）.這兩個(gè)問題教材沒有涉及,在圖象中也不能反映出來,但是課后有些學(xué)生會(huì)提出,有些資料中也會(huì)出現(xiàn)相關(guān)的問題.
一、定性分析
要想知道阻尼振動(dòng)是否具有“周期性”,首先要知道什么是機(jī)械振動(dòng)的周期.人教版高二《物理》教材（必修加選修）中對(duì)周期的定義是這樣的：物體完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間,叫做振動(dòng)的周期.在周期的定義中存在全振動(dòng)這個(gè)概念,全振動(dòng)是指做機(jī)械振動(dòng)的物體從某個(gè)點(diǎn)出發(fā),等到下次回到該點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和開始振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全相同,且所用時(shí)間最短.所以能重復(fù)原來的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（位移、速度、加速度等）的機(jī)械振動(dòng)才是全振動(dòng),非等幅的阻尼振動(dòng)不是全振動(dòng),所以它是沒有周期的.
關(guān)于阻尼振動(dòng)是否具有“等時(shí)性”,有兩種不同的說法.第一種說法認(rèn)為具有“等時(shí)性”,理由是阻尼振動(dòng)的振幅雖然在不斷減小,但可以看成是由很多個(gè)振幅不斷減小的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加,由于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有等肘性,它的周期與振幅無關(guān),所以阻尼振動(dòng)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位是一致的,節(jié)奏也是相同的,所以具有“等時(shí)性”.第二種說法認(rèn)為不具有“等時(shí)性”,理由是物體做阻尼振動(dòng)時(shí),由于機(jī)械能的損失.振子前后兩次通過同一點(diǎn)時(shí),后一次的速度肯定比前一次的小.這樣,從平衡位置到達(dá)最大位移處的平均速度總比返回時(shí)的平均速度大,所以回來就變慢了,對(duì)應(yīng)的時(shí)間也就長(zhǎng)了.按這種推理,阻尼振動(dòng)的振動(dòng)節(jié)奏會(huì)變得越來越慢,最后停止下來,周期變?yōu)闊o窮大,所以不具有“等時(shí)性”.
二、定量分析
以上是對(duì)阻尼振動(dòng)所做的定性分析,接下來我們做定量分析.
彈簧振子在油中或較粘稠的液體中的緩慢運(yùn)動(dòng)是阻尼振動(dòng)的典型例子,如圖2所示,由流體力學(xué)可知,彈簧振子在油中或較粘稠的液體中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受阻力的大小和速度的大小成正比,由牛頓第二定律,得
式中Υ是阻尼系數(shù).兩邊除以m,得
令
ω0為振動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率,β為阻尼系數(shù),和振動(dòng)系統(tǒng)的性質(zhì)以及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān).于是,方程可寫為
為了和高中教材討論的阻尼振動(dòng)一致,我們討論的是阻力很小的欠阻尼狀態(tài)的阻尼振動(dòng),即β＜ω0,由上式可求出彈簧振子中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為
,
A和a為待定常數(shù),由初始條件決定.此式中包含兩個(gè)因子,Ae－βt表示隨時(shí)間衰減的振幅,cos（ω't＋a）表示振動(dòng)以ω'為圓頻率周期地變化,二因子相乘表示質(zhì)點(diǎn)做運(yùn)動(dòng)范圍不斷縮小的往復(fù)運(yùn)動(dòng).由于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不可能每經(jīng)過一定時(shí)間便完全重復(fù)出現(xiàn),因此阻尼振動(dòng)不是周期運(yùn)動(dòng).不過,cos（ω't＋a）是周期變化的,它保證了質(zhì)點(diǎn)每連續(xù)兩次通過平衡位置并沿相同方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)間間隔是相同的,可見“等時(shí)性”具有非常嚴(yán)格的條件.而且由于大于彈簧振子系統(tǒng)的固有周期,可見阻尼振動(dòng)的節(jié)奏變慢了.
三、結(jié)論
比較由定性分析和定量分析得出的結(jié)論,阻尼振動(dòng)不具有“周期性”的觀點(diǎn)是相同的,但關(guān)于阻尼振動(dòng)是否具有“等時(shí)性”的分析結(jié)果是不一樣的.只有通過定量分析的結(jié)論才是可靠的、正確的,仔細(xì)分析定性分析的兩種說法中,推理都不嚴(yán)密并且是片面的,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論.定性分析中的第一種說法沒有考慮到振子做阻尼振動(dòng)時(shí),由于阻力的影響回復(fù)力的大小不再和位移成正比,得出“阻尼振動(dòng)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相位是一致的,節(jié)奏也是相同的”的錯(cuò)誤結(jié)論.定性分析中的第二種說法只考慮了振子從平位置出發(fā)到達(dá)最大位移處,又從最大位移處返回到平衡位置,即在圖1中的0～t2或t2～t4這段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)情況,沒有把運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行整體分析,從而忽視了在平均速度減小的同時(shí)振子從平衡位置出發(fā)往復(fù)一次所經(jīng)過的路程也變短了,導(dǎo)致得出錯(cuò)誤的結(jié)論.
綜上所述,阻尼振動(dòng)不是周期性運(yùn)動(dòng),但是質(zhì)點(diǎn)連續(xù)兩次通過平衡位置并沿相同方向運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間間隔是相同的.討論阻尼振動(dòng)時(shí)不能照搬簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,也不能做簡(jiǎn)單的定性分析,必要時(shí)還要做定量分析,否則就容易得出錯(cuò)誤的結(jié)論,在教學(xué)中,向?qū)W生強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn),對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)物理這門學(xué)科是非常重要的.