直線與平面(一)•練習題

一、選擇題
(1)空間三條直線,兩兩相交,則由它們可確定平面的個數(shù)為
[]
A．1 B．3
C．1或3D．1或4
(2)異面直線a,b分別在兩個平面α,β內(nèi),若α∩β=直線c,則c []
A．與a,b均相交
B．至多與a,b之一相交
C．至少與a,b之一相交
D．與a,b均不相交
(3)給出下列四個命題

③若a‖b,a‖α,則b‖α
④若a‖α,b‖α,則a‖b
(a,b,l為直線,α為平面)
其中錯誤命題的個數(shù)為[]
A．1 B．2
C．3 D．4
(4)給出下面三個命題
甲：相交兩直線l,m都在α內(nèi),且都不在β內(nèi)
乙：l,m中至少有一條與β相交
丙：α與β相交
當甲成立時 []
A．乙是丙的充分而不必要條件
B．乙是丙的必要而不充分條件
C．乙是丙的充要條件
D．乙是丙的非充分也非必要條件
(5)已知直線a,b,c和平面α,β,若a⊥α則[]

(6)兩條異面直線在一個平面內(nèi)的射影一定是 []
A．兩條相交直線
B．兩條平行直線
C．一條直線和直線外一點
D．上述三種可能均有
(7)在一個銳角二面角的一個面內(nèi)有一條直線a,則在另一個面內(nèi)與a垂直的直線[]
A．只有一條 B．有無窮多條
C．有一條或無窮多條 D．無法肯定
(8)在空間,下列命題成立的是[]
A．過平面α外的兩點,有且只有一個平面與平面α垂直
B．若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則l⊥α
C．互相平行的兩條直線在一個平面內(nèi)的射影必為互相平行的兩條直線
D．若點P到三角形的三邊的距離相等,且P在該三角形所在平面內(nèi)的射影O在三角形內(nèi),則O為三角形的內(nèi)心
二、填空題
(9)線段AB=5cm,A,B到平面α的距離分別為1cm和1.5cm,則直線AB與平面α所成的角的大小是______．
(10)已知平面α‖平面β,若夾在α,β間的一條垂線段AB=4,一條斜線段CD=6,若AC=BD=3,AB,CD的中點分別為M,N,則MN=______．(其中A,C∈α；B,D∈β)
(11)正方體ABCD—A1B1C1D1中,若M,N分別為A1A和B1B的中點,設(shè)異面直線CM和D1N所成的角為θ,則cosθ的值為______．
(12)過空間一點P的三條射線PA,PB,PC兩兩的夾角都是60°,則射線PC與平面APB所成角的正切函數(shù)值為______．
三、解答題
(13)求證：空間兩兩相交且不共點的四條直線必共面．
(14)如圖21—1所示,E,F,G,H,M,N分別為空間四邊形的邊AB,BC,CD,DA及對角線AC和BD的中點,若AB=BC=CD=AD,求證：

(Ⅰ)AC⊥BD；
(Ⅱ)面BMN⊥面EFGH．
(15)如圖21—2所示,ABCD為菱形,且∠ABC=60°,PD⊥面ABCD,且PD=a,E為PB的中點．

(Ⅰ)求證面AEC⊥面ABCD；
(Ⅱ)求E到面PAD的距離；
(Ⅲ)求二面角B—AE—C的正切函數(shù)值．

答案與提示

一、
(1)C (2)C (3)D (4)C (5)C (6)D (7)B (8)D
提示
(3)四個命題均不正確．
①l可能與α相交；②l可能與α相交,但其交點不在a,b上；③b可能在α內(nèi)；④a,b可能相交或異面．
(4)當乙成立時,α必與β相交；反之當丙成立時,l,m至少有一條與β相交,否則l//m與甲矛盾．
(7)在另一平面內(nèi)與a在其內(nèi)的射影垂直的直線也必與a垂直,故有無窮多條．
(8)(A)當過兩點的直線⊥α時,則過該直線的所有平面都⊥α；
(B)當l為α的斜線時,在α內(nèi)與l的射影垂直的直線也必垂直于l；
(C)可能為一條直線,兩相交直線,兩平行線或一直線及線外一點；
(D)正確．

三、(13)如圖答21-1,已知a,b,c,d四直線兩兩相交,但不共點．設(shè)a∩b=A,則過a,b可確定平面α,不妨設(shè)c∩a=C,c∩

c,d兩兩相交而不共點,并不排斥a,b,c共點而與d不共點．但c,d中總有一條與a,b不共點)

(14)(Ⅰ)∵AB=AD, BN=ND,∴AN⊥BD

(Ⅱ)由(Ⅰ)BD⊥MN．又 EH//BD,∴BD⊥EH
同理MN⊥EF
∴MN⊥面EFGH

(15)(Ⅰ)如圖答21-2,連AC,BD交于0,∵E為PA中點,O為AC中點,
∴EO//PC,又∵PC⊥面ABCD

∴面BED⊥面ABCD

(Ⅱ)∵EO//PC,∴EO//面PBC
∴E到面PBC的距離就是O到面PBC的距離．
又∵PC⊥面ABCD,∴面PBC⊥面ABCD
過O作OH⊥BC于H,則OH⊥面PBC


(Ⅲ)∵面BDE⊥面ABCD,AO⊥BD,∴AO⊥面BDE
過A作AF⊥BE于F,則OF⊥BE
則∠AFO為二面角A-BE-D的平面角