1. 證明,可以構(gòu)成任意初等函數(shù)f(x)的奇偶函數(shù)的存在性.
對于定義域中函數(shù) f(x) 可以表示為無限點構(gòu)成的分段函數(shù).
對于任意一點 x0 均可表達成 f(x0) = y0 = g(x0) + h(x0) ...
對于其原點對稱點 -x0,f(-x0) = y1 = g(-x0) + h(-x0)（假定定義域是對稱的）
這里若限定 g(x0) = g(-x0), h(x0) = -h(-x0) ...
則：
f(x0) = g(x0) + h(x0)
f(-x0) = g(x0) - h(x0)
g(x0) = g(-x0) = [f(x0) + f(-x0)]/2 ..;h(x0) = -h(-x0) = [f(x0) - f(-x0)]/2
由于x0 在定義域內(nèi)不失一般性,因此對于整個對稱的定義域均有上面的式子成立,寫成一般形式有：
g(x) = g(-x) = [f(x) + f(-x)]/2 .. h(x) = -h(-x) = [f(x) - f(-x)]/2
因此,這樣的奇偶函數(shù)是存在的.
2 證明可表達的充分性.
由于,
g(x) = g(-x) = [f(x) + f(-x)]/2 在定義上為偶函數(shù)
h(x) = -h(-x) = [f(x) - f(-x)]/2 在定義上為奇函數(shù)
則 f(x) = g(x) + h(x) ...
顧,原命題得證.

附,證明奇偶函數(shù)存在是必須的.2.小點中只證明了充分性.1.小點證明了必要性.