已知向量a1,a2,a3為方程組AX=0向量的基礎(chǔ)解系,試證明a1+a2,a2+a3,a3+a1也為該方程組的基礎(chǔ)解系

數(shù)學(xué)人氣：611 ℃時(shí)間：2020-05-19 03:55:19

優(yōu)質(zhì)解答

a1為方程組AX=0向量的解
說(shuō)明A*a1＝0
同理A*a2＝A*a3＝0
所以A*(a1+a2)＝A*a1+A*a2＝0
所以a1+a2也為該方程組的解
同理a2+a3和a1+a3也為該方程組的解
但是并不是隨便3個(gè)解都能組成基礎(chǔ)解系,還要滿足線性無(wú)關(guān)
我們已經(jīng)知道矩陣（a1,a2,a3）是無(wú)關(guān)的,那么
（a1+a2,a2+a3,a3+a1）
＝（a1,a2,a3）*
｜ 1 0 1 |
｜ 1 1 0 |
｜ 0 1 1 |
后面的矩陣不等于0,所以矩陣（a1+a2,a2+a3,a3+a1）也無(wú)關(guān)
所以a1+a2,a2+a3,a3+a1也為該方程組的基礎(chǔ)解系