4.1 聯(lián)系
如果在實數(shù)域或復(fù)數(shù)域上距離空間是完備的,該空間被稱為完備距離空間.實數(shù)域或復(fù)數(shù)域上的完備線性賦范空間被稱為巴拿赫空間.內(nèi)積空間是特殊的線性賦范空間,而完備的內(nèi)積空間被稱為希爾伯特空間,其上的范數(shù)由一個內(nèi)積導(dǎo)出.
在線性空間中賦以“范數(shù)”,然后在范數(shù)的基礎(chǔ)上導(dǎo)出距離,即線性賦范空間,完備的線性賦范空間稱為巴拿赫空間.范數(shù)可以看出長度,線性賦范空間相當(dāng)于定義了長度的空間,所有的線性賦范空間都是距離空間.
以有限維空間來說,向量的范數(shù)相當(dāng)于向量的模的長度.但是在有限維歐式空間中還有一個很重要的概念—向量的夾角,特別是兩個向量的正交.內(nèi)積空間是特殊的線性賦范空間,在這類空間中可以引入正交的概念以及投影的概念,從而在內(nèi)積空間中建立起相應(yīng)的幾何學(xué).用內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)來定義距離,Banach空間就成為了希爾伯特空間.
4.2 區(qū)別
在距離空間中通過距離的概念引入了點列的極限,但是只有距離結(jié)構(gòu)、沒有代數(shù)結(jié)構(gòu)的空間,在應(yīng)用過程中受到限制.線性賦范空間和內(nèi)積空間就是距離結(jié)構(gòu)與代數(shù)結(jié)構(gòu)相結(jié)合的產(chǎn)物,較距離空間有很大的優(yōu)越性.
線性賦范空間就是在線性空間中,給向量賦予范數(shù),即規(guī)定了向量的長度,而沒有給出向量的夾角.
在內(nèi)積空間中,向量不僅有長度,兩個向量之間還有夾角.特別是定義了正交的概念,有無正交性概念是賦范線性空間與內(nèi)積空間的本質(zhì)區(qū)別.任何內(nèi)積空間都是線性賦范空間,但線性賦范空間未必是內(nèi)積空間.
線性賦范空間X成為內(nèi)積空間的充要條件是：范數(shù)‖.‖對于一切屬于X的x,y,滿足
‖x+y‖2+‖x-y‖2=2‖x‖2+2‖y‖2\x09(3-3)
上式(3-3)被稱為平行四邊形公式或中線公式.