（1）賦范向量空間是具有“長度”概念的向量空間.是通常的歐幾里德空間 Rn 的推廣.Rn中的長度被更抽象的范數(shù)替代.“長度”概念的特征是：
零向量的長度是零,并且任意向量的長度是非負(fù)實數(shù).
一個向量 v 乘以一個標(biāo)量 a 時,長度應(yīng)變?yōu)樵蛄?v 的 |a|（ a 的絕對值）倍.
三角不等式成立.也就是說,對于兩個向量 v 和 u ,它們的長度和（“三角形”的兩邊）大于 v+u （第三邊）的長度.
一個把向量映射到非負(fù)實數(shù)的函數(shù)如果滿足以上性質(zhì),就叫做一個半范數(shù)；如果只有零向量的函數(shù)值是零,那么叫做范數(shù).擁有一個范數(shù)的向量空間叫做賦范向量空間
（2）Banach空間是完備的線性賦范向量空間
（3）在數(shù)學(xué)中,度量空間是一個集合,在其中可以定義在這個集合的元素之間的距離(叫做度量)的概念
（4）內(nèi)積空間的定義：設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間,V到P的一個代數(shù)運(yùn)算（V×V－>P）,記為 (ɑ,ß) .如果(ɑ,ß)滿足下列條件：
1) (ɑ,ß) = (ß,ɑ)；
2) (ɑ+ß,γ) = (ɑ,γ) + (ß,γ)；
3) (kɑ,ß) = k(ɑ,ß)；
4) (ɑ,ɑ)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)ɑ=0時(ɑ,ɑ)=0,
其中k是數(shù)域P中的任意數(shù),ɑ、ß、γ是V中的任意元素,則稱(ɑ,ß)為ɑ與ß的內(nèi)積,定義了內(nèi)積的線性空間V稱為內(nèi)積空間.特別地,稱實數(shù)域R上的內(nèi)積空間V為Euclid空間（歐式空間）；稱復(fù)數(shù)域C上的內(nèi)積空間V為酉空間.
（5）希爾伯特空間：在一個復(fù)向量空間H上的給定的內(nèi)積并導(dǎo)出一種范數(shù),如果其對于這個范數(shù)來說是完備的,那么它就是希爾伯特空間.這里的完備性是指,任何一個柯西列都收斂到此空間中的某個元素,即它們與某個元素的范數(shù)差的極限為0.希爾伯特空間也是一個內(nèi)積空間,其上有距離和角的概念（及由此引伸而來的正交性與垂直性的概念）,希爾伯特空間還是一個完備的空間.