在復(fù)數(shù)域內(nèi),多項式x^n-1的因子分解可以看成是方程x^n-1=0的求解,即1開n次方根,假設(shè)求得解為X1.Xn,則 x^n-1=(x-x1)*(x-x2)*.*(x-xn)
1開n次方根,求得的解有共軛虛根的,比如z1=cos(θ)+sin(θ)i 和 z2=cos(θ)-sin(θ)i
z1+z2 = 2cos(θ) z1*z2=1
這兩個根對應(yīng)的多項式相乘,得
( x - z1 ) * (x - z2) = x^2 - (z1+z2)x + z1*z2
= x^2 - 2cos(θ) x + 1
當(dāng)n是奇數(shù)是,有一個解為1,落在實數(shù)正軸,沒有對應(yīng)的共軛虛根；而當(dāng)n是偶數(shù)時,則有兩個解分別落在實際正負(fù)軸,沒有對應(yīng)的共軛虛根.因此需要區(qū)別對待.