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  • 證明以橢圓X2/a2+Y2=1(a>1)的短軸的一個端點為直角頂點作橢圓的內接等腰直角三角形有多少個?

    證明以橢圓X2/a2+Y2=1(a>1)的短軸的一個端點為直角頂點作橢圓的內接等腰直角三角形有多少個?
    有個解題方法是設其它兩個端點的坐標是 P(X1,y1) Q(X2,Y2) 之后就給出了① 1-y1=x2
    ② -x1=1-y2 請問這個關系是怎么導出來的 是一個規(guī)律么
    數(shù)學人氣:871 ℃時間:2020-06-07 14:49:01
    優(yōu)質解答
    a>1,所以短軸的一個端點坐標為:B(0,1)
    設P(x1,y1),Q(x2,y2)
    設過BP的直線斜率為k;BP⊥BQ則過BQ的直線斜率為-1/k;
    直線方程BP:y-1=kx; BQ:y-1=-x/k,-x=k(y-1)
    分別將(x1,y1),(x2,y2)代入有:
    y1-1=kx1,-x2=k(y2-1).1
    由于BP=BQ,兩點距離公式有:
    x1²+(y1-1)²=x2²+(y2-1)².2
    1式代入2式有:x1²+k²x1²=k²(y2-1)² +(y2-1)²
    ∵1+k²≠0; ∴x1²=(y2-1)².3
    又1式:k²x1²=(y1-1)²,x2²=k²(y2-1)²代入3式有:
    (y1-1)²=x2².4
    這樣3,4式是:
    x1²=(y2-1)²;
    (y1-1)²=x2²;
    然后因為內接橢圓,∴P,Q必須在y軸的兩邊就是如果x1>0,那么x2<0,或者x1<0,x2>0結果就有了:
    x1=1-y2,同時x2=y2-1
    或x1=y2-1,同時x2=1-y1;
    因為x1,x2是隨便設的,所以上面的關系式寫一個即可.
    這么寫不知道能不能看懂,不過本題直接設后給出這么個解答過于簡略,這本輔導教材你不看也罷,太誤導人了.
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