（1）假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，
則A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，設(shè)它們的橫坐標(biāo)分別為 x₁ 和x₂，且x₁＜x₂．
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁ ）+f（-x₂）=

f(x1)+f(?x2)

x1+(?x2)

[x₁+（-x₂）]．
由于

f(x1)+f(?x2)

x1+(?x2)

＞0，且[x₁+（-x₂）]＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，即 函數(shù)f（x）的圖象上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直．
（2）由于

1

2

f(x)≤m2+2am+1對(duì)所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
∴故函數(shù)f（x）的最大值小于或等于2（m²+2am+1）．
由于由（1）可得，函數(shù)f（x）是[-1，1]的增函數(shù)，故函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=2，
∴2（m²+2am+1）≥2，即 m²+2am≥0．
令關(guān)于a的一次函數(shù)g（a）=m²+2am，則有

g(?1)＝m2?2m≥0 g(1)＝ m2+2m≥0

，
解得 m≤-2，或m≥2，或 m=0，故所求的m的范圍是{m|m≤-2，或m≥2，或 m=0}．