直角三角形ABC的斜邊在平面α內(nèi),直角頂點C是α外一點,AC·BC與α所成角分別為30°和45°求ABC與α的角

數(shù)學人氣：345 ℃時間：2019-09-29 06:31:51

優(yōu)質解答

從C點想平面α做垂線,交α與點D,連接AD、BD,從C向AB作垂線CE交AB與E,連接ED,顯然ED為EC在α上的投影,
∵CE⊥AB且CD為α垂線,∴ED⊥AB,∴∠CED為面ABC與面α的二面角
∵顯然AD、BD分別為AC、BC在α上的投影,∴∠CAD和∠CBD分別為AC和BC與α所成角
∴∠CAD=30°,∠CBD=45°
設CD=x,∵CD為α垂線,且AD、BD、AB都在α上,∴CD⊥AD,CD⊥BD,CD⊥AB
∴CD/AC=sin30°,CD/BC=sin45°,∴AC=2x,BC=√2x
∵∠ACB=90°,∴AC²+BC²=AB²,∴AB=√6x
∵CE⊥AB,∴AB·EC=AC·BC,∴EC=2√3x/3
∵CD⊥ED,∴sin∠CED=CD/CE=√3/2
∴∠CED=60°,既面ABC與面α的二面角為60°