高斯分布,也稱(chēng)正態(tài)分布,又稱(chēng)常態(tài)分布.對(duì)于隨機(jī)變量X,其概率密度函數(shù)如圖所示.稱(chēng)其分布為高斯分布或正態(tài)分布,記為N（μ,σ2）,其中為分布的參數(shù),分別為高斯分布的期望和方差.當(dāng)有確定值時(shí),p(x)也就確定了,特別當(dāng)μ=0,σ2=1時(shí),X的分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.μ正態(tài)分布最早由棣莫佛于1730年在求二項(xiàng)分布的漸近公式時(shí)得到；后拉普拉斯于1812年研究極限定理時(shí)也被引入；高斯（Gauss）則于1809年在研究誤差理論時(shí)也導(dǎo)出了它.高斯分布的函數(shù)圖象是一條位于x軸上方呈鐘形的曲線(xiàn),稱(chēng)為高斯分布曲線(xiàn),簡(jiǎn)稱(chēng)高斯曲線(xiàn).
　　1809年,高斯(Carl Friedrich Gauss,1777—1855)發(fā)表了其數(shù)學(xué)和天體力學(xué)的名著《繞日天體運(yùn)動(dòng)的理論》.在此書(shū)末尾,他寫(xiě)了一節(jié)有關(guān)“數(shù)據(jù)結(jié)合”（data combination）的問(wèn)題,實(shí)際涉及的就是這個(gè)誤差分布的確定問(wèn)題.
　　他的做法與拉普拉斯相同.但在往下進(jìn)行時(shí),他提出了兩個(gè)創(chuàng)新的想法.一是他不采取貝葉斯式的推理方式,測(cè)量誤差是由諸多因素形成,每種因素影響都不大.按中心極限定理,其分布近似于正態(tài)分布是勢(shì)所必然.其實(shí),早在1780年左右,拉普拉斯就推廣了狄莫佛的結(jié)果,得到了中心極限定理的比較一般的形式.可惜的是,他未能把這一成果用到確定誤差分布的問(wèn)題上來(lái).高斯的第二點(diǎn)創(chuàng)新的想法是：他把問(wèn)題倒過(guò)來(lái),先承認(rèn)算術(shù)平均是應(yīng)取的估計(jì),然后去找誤差密度函數(shù)條件下才能成立,這就是正態(tài)分布.一種概率分布.正態(tài)分布是具有兩個(gè)參數(shù)μ和σ2的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,第一參數(shù)μ是遵從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值,第二個(gè)參數(shù)σ2是此隨機(jī)變量的方差,所以正態(tài)分布記作N(μ,σ2 ).遵從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率規(guī)律為取μ鄰近的值的概率大,而取離μ越遠(yuǎn)的值的概率越?。沪以叫?分布越集中在μ附近,σ越大,分布越分散.正態(tài)分布的密度函數(shù)的特點(diǎn)是：關(guān)于μ對(duì)稱(chēng),在μ處達(dá)到最大值,在正（負(fù)）無(wú)窮遠(yuǎn)處取值為0,在μ±σ處有拐點(diǎn).它的形狀是中間高兩邊低,圖像是一條位于x軸上方的鐘形曲線(xiàn).當(dāng)μ＝0,σ2＝1時(shí),稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記為N（0,1）.μ維隨機(jī)向量具有類(lèi)似的概率規(guī)律時(shí),稱(chēng)此隨機(jī)向量遵從多維正態(tài)分布.多元正態(tài)分布有很好的性質(zhì),例如,多元正態(tài)分布的邊緣分布仍為正態(tài)分布,它經(jīng)任何線(xiàn)性變換得到的隨機(jī)向量仍為多維正態(tài)分布,特別它的線(xiàn)性組合為一元正態(tài)分布.
　　正態(tài)分布最早由A.棣莫弗在求二項(xiàng)分布的漸近公式中得到.C.F.高斯在研究測(cè)量誤差時(shí)從另一個(gè)角度導(dǎo)出了它.P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質(zhì).
　　高斯這項(xiàng)工作對(duì)后世的影響極大,他使正態(tài)分布同時(shí)有了“高斯分布”的名稱(chēng),后世之所以多將最小二乘法的發(fā)明權(quán)歸之于他,也是出于這一工作.高斯是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家,重要的貢獻(xiàn)不勝枚舉.但現(xiàn)今德國(guó)10馬克的印有高斯頭像的鈔票,其上還印有正態(tài)分布的密度曲線(xiàn).這傳達(dá)了一種想法：在高斯的一切科學(xué)貢獻(xiàn)中,其對(duì)人類(lèi)文明影響最大者,就是這一項(xiàng).