（1）證明：
∵四邊形OABC為正方形，∴OC=OA．
∵三角板OEF是等腰直角三角形，∴OE₁=OF₁．
又三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OE₁F₁的位置時(shí)，∠AOE₁=∠COF₁，
∴△OAE₁≌△OCF₁．                                         
（2）存在．                                                 
∵OE⊥OF，
∴過(guò)點(diǎn)F與OE平行的直線有且只有一條，并與OF垂直，
當(dāng)三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，
則點(diǎn)F在以O(shè)為圓心，以O(shè)F為半徑的圓上．                        
∴過(guò)點(diǎn)F與OF垂直的直線必是圓O的切線．
又點(diǎn)C是圓O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C與圓O相切的直線有且只有2條，不妨設(shè)為CF₁和CF₂，
此時(shí)，E點(diǎn)分別在E₁點(diǎn)和E₂點(diǎn)，滿足CF₁∥OE₁，CF₂∥OE₂．            
當(dāng)切點(diǎn)F₁在第二象限時(shí)，點(diǎn)E₁在第一象限．
在直角三角形CF₁O中，OC=4，OF₁=2，
cos∠COF₁=

OF1

OC

=

1

2

，
∴∠COF₁=60°，∴∠AOE₁=60°．
∴點(diǎn)E₁的橫坐標(biāo)為：x_E1=2cos60°=1，
點(diǎn)E₁的縱坐標(biāo)為：y_E1=2sin60°=

3

，
∴點(diǎn)E₁的坐標(biāo)為（1，

3

）；
當(dāng)切點(diǎn)F₂在第一象限時(shí)，點(diǎn)E₂在第四象限．
同理可求：點(diǎn)E₂的坐標(biāo)為（1，-

3

）．      
綜上所述，三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，存在兩個(gè)位置，使得OE∥CF，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為E₁（1，

3

）或E₂（1，-

3

）．