設(shè)n次多項式f(x) = a[0]+a[1]x+...+a[n]x^n.
用反證法,假設(shè)f(x)有n+1個互不相等的根x[1],x[2],...,x[n+1].
則有n+1個等式:
a[0]+a[1]x[1]+...+a[n]x[1]^n = 0,
a[0]+a[1]x[2]+...+a[n]x[2]^n = 0,
...
a[0]+a[1]x[n+1]+...+a[n]x[n+1]^n = 0.
它們構(gòu)成關(guān)于a[0],a[1],...,a[n]的齊次線性方程組.
其系數(shù)行列式:
1 x[1] ...x[1]^n
1 x[2] ...x[2]^n
...
1 x[n+1] ...x[n+1]^n
為Vandermonde行列式,取值非零(x[1],x[2],...,x[n+1]兩兩不等).
由Cramer法則,方程組只有零解,故f(x)為零多項式,矛盾.
因此n次多項式至多有n個互不相等的根.