研究性課程實施一例
研究性課程是指以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力為目的的課程.它要求給學生提供研究的問題和背景,讓學生自主研究知識的發(fā)生發(fā)展過程,因而具有研究性；它從問題的提出、方案的設計與實施,到結論的得出,均由學生來做,因而具有自主創(chuàng)新性；它一般要通過調查、實驗、歸納猜想、推證結論、社會實踐等方式進行學習,因而具有開放性和實踐性.
一、切入課題
研究性課程可分為問題研究模式和自主研究模式兩種.問題研究模式的一般程序為：創(chuàng)設問題情景,切入課題；提供或搜集資料；探求解決問題的方法；得出科學結論；發(fā)展、運用新知.
在立體幾何的中有一個問題：“3個相互平行的平面可將空間分成幾部分?”正確的“4個部分.”接著提出：“3個平面可將空間分成幾部分?”的問題,由于去掉了“相互平行”的條件,這個問題必須分類討論回答.
當3個平面相互平行時,分空間為4個部分；
當有且僅有兩個平面平行時,分空間為6個部分；
當3個平面兩兩相交于一條直線時,分空間為6個部分；
當3個平面兩兩相交,3條交線不交于同一點時,分空間為7個部分；
當3個平面兩兩相交,3條交線交于一點時,分空間為8個部分.
于是我們得出“3個平面最多可將空間分為8個部分”的結論.在這一背景下,提出了值得深入研究的新課題：“4個平面最多可將空間分為多少部分?n個平面又將空間最多分成多少部分?”
這兩個問題不屬于教材和大綱的要求范圍,但對它們的探索和研究有助于培養(yǎng)我們的創(chuàng)新精神和實踐能力.
二、探索和研究
不少學生對“4個平面最多可以把空間分成多少部分”的研究取得了成功.方法是多樣的,有的采取作圖直觀計數(shù),有的采用以三棱錐為載體計數(shù),有的采用遞推分析.不妨將第二種方法作一個簡單介紹：三棱錐的4個面延展后就成了4個平面兩兩相交,且交線互不平行,每3個平面相交于一點,4個交點就是三棱錐的4個頂點.每個頂點各自“對著”一部分空間,4個頂點,6條棱,4個面“對著”14個部分空間,但4個面中間圍了一部分空間,所以4個平面最多可將空間分成15個部分.
但用類似的方法卻不能解決n個平面分空間的問題.有同學采用實驗、觀察、歸納的方法得出了n個平面最多可以將空間分為 部分.
他的探索過程是這樣的：1個點最多將1條直線分為2部分,2個點分為3部分,3個點分為4部分……；l條直線最多將平面分為2部分,2條直線分為4部分,3條直線分為7部分……；1個平面最多將空間分為2部分,2個平面分成4部分,3個平面分為8部分……通過列表、觀察、歸納,得出了一個遞推關系,于是推得結論.
老師肯定了他的探索、觀察、歸納能力,同時指出,這個遞推關系只是一個猜想,是否正確,還有待證明,最后應形成一篇論文,讓大家都能看懂.
三、科學論證
n個平面最多可將空間分成 部分.
這是一個與自然數(shù)n有關的數(shù)學命題,它的證明要用到數(shù)學歸納法,要高中二年級下期才學,對于高一學生來說,具有很高的難度.（同學可以找到高二這部分內容看看）
這位同學自學了高二的“數(shù)學歸納法”,證明了他歸納猜想的遞推關系,對于三維以下空間是完全正確的,并由此可以得出結論.但他認為運算還相當繁瑣,還需要簡化運算過程.于是他又根據(jù)已自學的楊輝三角與組合數(shù)的知識進行類比,得出了遞推關系的簡化公式.
（*）
特別地,P(1,n)=n+1,即n個點可把一條直線（一維空間）最多分成n+1部分；
,即n條直線可把一個平面（二維空間）最多分成 部分； ,即n個平面可把一個空間（三維空間）最多分成 部分.
用最后一個公式徹底解決了n個平面最多可將三維空間分成P部分的問題.比如“不準移動西瓜,5刀最多可將一個西瓜切成多少塊?”這樣的難題也就迎刃而解了.只需將n=5代入最后一個公式得P＝26,即最多可分為26塊.
這位同學最后提及：“公式（*）只在D≤3時獲證,至于D＞3時公式（*）是否成立,其幾何意義如何等,還有待對這個問題有興趣的朋友進一步研究.
按他的猜想D＞3時,公式（*）也應是正確的,但三維空間的立方體如何去分割四維空間?的確需要進一步研究.
這個課題的研究是必修課內容的延伸,是大家感興趣的問題,是大家通過努力可以解決的問題,這恰好符合研究性課程的選題原則.通過這個問題的研究,提高了大家學習數(shù)學的興趣,培養(yǎng)了大家的研究能力,動手實踐能力和創(chuàng)新能力,也培養(yǎng)了同學們的自學能力和表達能力,其效果是深遠的.
四、深入發(fā)展
這個同學《“平面分空間”問題的研究》論文發(fā)表在北京《數(shù)理天地》雜志2000年第七期上.還有一位同學對這個問題產(chǎn)生了濃厚的興趣,通過對高等代數(shù)、空間解析幾何等高等數(shù)學的自學和研究,寫出了《對n維歐幾里得空間的分割》的論文,論文無論從研究方式、表述形式、內容深度都有了提高,基本上解決了用n維標準形分割n+1維空間的問題,使這一研究課題向縱深發(fā)展,結論上更具普遍性.