（1）證明：∵△MBC是等邊三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．
∵M(jìn)是AD中點(diǎn)，
∴AM=MD．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC．
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2） 在等邊△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．
∴△BPM∽△CQP．
∴

PC

BM

=

CQ

BP

．
∵PC=x，MQ=y，
∴BP=4-x，QC=4-y．
∴

x

4

=

4-y

4-x

．
∴y=

1

4

x2-x+4．

（3） ①當(dāng)BP=1時，則有BP

∥ .

.

AM，BP

∥ .

.

MD，
則四邊形BPDM為平行四邊形，
∴MQ=y=

1

4

×3²-3+4=

13

4

．
當(dāng)BP=3時，則有PC

∥ .

.

AM，PC

∥ .

.

MD，
則四邊形APCM為平行四邊形，
∴MQ=y=

1

4

×1²-1+4=

13

4

．
∴當(dāng)BP=1，MQ=

13

4

或BP=3，MQ=

13

4

時，
以P、M和A、B、C、D中的兩個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．此時平行四邊形有2個．
②△PQC為直角三角形．
∵y=

1

4

（x-2）²+3，
∴當(dāng)y取最小值時，x=PC=2．
∴P是BC的中點(diǎn)，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴∠PQC=90°．
∴△PQC是直角三角形．