證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1×2×3=6，右邊=

1×2×3×4

4

＝6=左邊，∴等式成立．
（2）設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，等式成立，
即1×2×3+2×3×4+…+k×(k+1)×(k+2)＝

k(k+1)(k+2)(k+3)

4

．  
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）

＝ k(k+1)(k+2)(k+3) 4 +(k+1)(k+2)(k+3) ＝(k+1)(k+2)(k+3)( k 4 +1)＝ (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) 4 ＝ (k+1)(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3) 4 .

∴n=k+1時(shí)，等式成立．
由（1）、（2）可知，原等式對(duì)于任意n∈N^*成立．