空間中不共面的四個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成三棱錐，如圖：三棱錐D-ABC，
平面α到三棱錐D-ABC的四個(gè)定點(diǎn)距離相等，分成兩類(lèi)：
一類(lèi)是：當(dāng)平面一側(cè)有一點(diǎn)，另一側(cè)有三點(diǎn)時(shí)，即對(duì)此三棱錐進(jìn)行換低，則三棱錐由四種表示形式，
此時(shí)滿足條件的平面?zhèn)€數(shù)是四個(gè)，
另一類(lèi)是：當(dāng)平面一側(cè)有兩點(diǎn)，另一側(cè)有兩點(diǎn)時(shí)，即構(gòu)成的直線是三棱錐的相對(duì)棱，因三棱錐的相對(duì)棱有三對(duì)，
則此時(shí)滿足條件的平面?zhèn)€數(shù)是三個(gè)，
綜上所述，滿足條件的平面共有7個(gè)，
故答案為：7．