已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x數(shù)列{an}滿足a1=1/2,ln2+ln a(n+1)=a(n+1)an+f(a(n+1)an),求證ln(1+x)

數(shù)學(xué)人氣：357 ℃時間：2020-06-11 07:40:09

優(yōu)質(zhì)解答

證明：1）若給定定義域x>=0,對f(x)=ln(x+1)-x,求導(dǎo)得f'(x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1)=0.于是得f(x)在x>0上單調(diào)遞減,又f(x)可在x=0處連續(xù),得f(x)2且k為N+）假設(shè)命題成立,則有ak=k/(k+1).iii)那么n=k+1時,有a(k+1)=1/(2-ak)=1/[2-k/(k+1)]=(k+1)/(k+2),故n=k+1時也成立,于是對任意n(為N+)都有an=n/(n+1).3）由于ln(1+x)0).取1/(n+1)（＞0）替換x得ln[1+1/(n+1)]=ln[(n+2)/(n+1)]