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  • 如圖,已知△ABC和△ABD均為等腰直角三角形,∠ACB=∠BAD=90°,點(diǎn)P為邊AC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合),作PE⊥PB交AD于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F. (1)求證:∠AEP=∠ABP. (2)猜想線段PB、PE的數(shù)

    如圖,已知△ABC和△ABD均為等腰直角三角形,∠ACB=∠BAD=90°,點(diǎn)P為邊AC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合),作PE⊥PB交AD于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F.

    (1)求證:∠AEP=∠ABP.
    (2)猜想線段PB、PE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.
    (3)若P為AC延長線上任意一點(diǎn)(如圖②),PE交DA的延長線于點(diǎn)E,其他條件不變,(2)中的結(jié)論是否成立?請證明你的結(jié)論.
    數(shù)學(xué)人氣:369 ℃時(shí)間:2020-06-27 03:13:02
    優(yōu)質(zhì)解答
    證明:(1)∵PE⊥PB,
    ∴∠EPB=90°,
    ∵∠BAD=90°,
    ∴∠AEP=90°-∠1,∠ABP=90°-∠2,
    ∵∠1=∠2,
    ∴∠AEP=∠ABP;
    (2)PB=PE,
    如圖3,過P作PM⊥AC交AB與M,
    在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=45°,
    ∴∠PAM=∠AMP=45°,
    ∴PA=PM,
    ∵∠PAE=45°+90°=135°,∠PMB=180°-45°=135°,
    ∴∠PAE=∠PMB,
    在△AEP和△MBP中
    ∠PAE=∠PMB
    ∠AEP=∠ABP
    AP=PM
    ,
    ∴△APE≌△MPB(AAS),
    ∴PB=PE;
    (3)成立;
    如圖4,過P作PM⊥AB于點(diǎn)M,作PN⊥DA交DA延長線于點(diǎn)N,
    ∵∠PAB=∠PAN=45°,
    ∴PM=PN,
    ∵∠N=∠PMA=∠MAE=90°,
    ∴四邊形ANPM是矩形,∴∠MPN=90°.
    ∵∠3+∠MPE=∠4+∠MPE=90°,
    ∴∠3=∠4,
    ∵∠PMB=∠N=90°,
    在△PBM和△PEN中
    ∠3=∠4
    PM=PN
    ∠PMB=∠N

    ∴△PBM≌△PEN(ASA),
    ∴PB=PE.
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