對于高中“解一元二次不等式”這一塊,
通常有以下兩種解決辦法：
① 運(yùn)用“分類討論”解題思想；
② 運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”解題思想.
以下分別詳細(xì)探討.
例1、解不等式 x² -- 2x -- 8 ≥ 0.
解法①：原不等式可化為：
(x -- 4) (x + 2) ≥ 0.
兩部分的乘積大于等于零,
等價于以下兩個不等式組：
（1） x -- 4 ≥ 0 或 （2）x -- 4 ≤ 0
x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0
解不等式組(1)得：x ≥ 4（因?yàn)閤 ≥ 4 一定滿足x ≥ -- 2,此為“同大取大”）
解不等式組(2)得：x ≤ -- 2（因?yàn)閤 ≤ --2 一定滿足x ≤ 4,此為“同小取小”）
∴不等式 x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解為：x ≥ 4 或 x ≤ -- 2.
其解集為：( -- ∞,-- 2 ] ∪ [ 4,+ ∞）.
解法②：原不等式可化為：
[ (x² -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0.
∴ (x -- 1)² ≥ 9
∴ x -- 1 ≥ 3 或 x -- 1 ≤ -- 3
∴ x ≥ 4 或 x ≤ -- 2.
∴原不等式的解集為：( -- ∞,-- 2 ] ∪ [ 4,+ ∞）.
解法③：如果不等式的左邊不便于因式分解、不便于配方,
那就用一元二次方程的求根公式進(jìn)行左邊因式分解,
如本題,用求根公式求得方程 x² -- 2x -- 8 = 0
的兩根為x1 = 4,x2 = -- 2,則原不等式可化為：
(x -- 4) (x + 2) ≥ 0.下同解法①.
體會：以上三種解法,都是死板板地去解；
至于“分類討論”法,有時雖麻煩,但清晰明了.
下面看“數(shù)形結(jié)合”法.
解法④：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),函數(shù)f(x) = x² -- 2x -- 8 的圖像
開口向上、與x 軸的兩交點(diǎn)分別為(-- 2,0) 和 (4,0),
顯然,當(dāng)自變量的取值范圍為 x ≥ 4 或 x ≤ -- 2 時,
圖像在 x 軸的上方；
當(dāng)自變量的取值范圍為 -- 2 ≤ x ≤ 4 時,圖像在 x 軸的下方.
∴ 當(dāng)x ≥ 4 或 x ≤ -- 2 時,x² -- 2x -- 8 ≥ 0,
即：不等式 x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解為：x ≥ 4 或 x ≤ -- 2.
順便說一下,當(dāng)-- 2 ≤ x ≤ 4 時,圖像在 x 軸的下方,即：x² -- 2x -- 8 ≤ 0,
∴不等式x² -- 2x -- 8 ≤ 0 的解為：-- 2 ≤ x ≤ 4 .其解集為：[ -- 2,4 ].
領(lǐng)悟：對于ax² + bx + c ＞ 0 型的二次不等式,其解為“大于大根或小于小根”；
對于ax² + bx + c ＜ 0 型的二次不等式,其解為“大于小根且小于大根”.
例2、解不等式 x² + 2x + 3 ＞ 0.
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)左邊無法進(jìn)行因式分解.
配方得：(x + 1)² + 2 ＞ 0.
無論 x 取任何實(shí)數(shù),(x + 1)² + 2 均大于零.
∴ 該不等式的解集為 x ∈ R.
用“數(shù)形結(jié)合”考慮,
∵ 方程x² + 2x + 3 = 0的根的判別式△＜0,
∴函數(shù)f(x) = x² + 2x + 3 的圖像與x 軸無交點(diǎn)且開口向上.
即：無論自變量x取任意實(shí)數(shù)時,圖像恒位于x 軸的上方.
∴不等式 x² + 2x + 3 ＞0的解集為 x ∈ R.
例3、解不等式 x² + 2x + 3 ＜ 0.
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)左邊無法進(jìn)行因式分解.
配方得：(x + 1)² + 2 ＜ 0.
無論 x 取任何實(shí)數(shù),(x + 1)² + 2 均大于零,
∴ 該不等式的解集為 空集.
用“數(shù)形結(jié)合”考慮,
∵ 方程x² + 2x + 3 = 0的根的判別式△＜0,
∴函數(shù)f(x) = x² + 2x + 3 的圖像與x 軸無交點(diǎn)且開口向上.
即：無論自變量x取任意實(shí)數(shù)時,圖像恒位于x 軸的上方.
∴不等式 x² + 2x + 3 ＞0的解集為 空集.
注：在以后的高中學(xué)習(xí)中,對于“不等式”這一塊,較麻煩的是
“含有參數(shù)的不等式”.如：
f(x) = ax² + x （ a ∈ R 且 a ‡ 1）
若當(dāng)x ∈[ 0,1] 時,總有 | f(x) | ≤ 1,求a的取值范圍.
以后慢慢探討吧,祝您學(xué)習(xí)順利!