一元微積分學(xué)中最基本的公式 — 牛頓,萊布尼茲公式 表明:函數(shù)在區(qū)間上的定積分可通過原函數(shù)在這個區(qū)間的兩個端點(diǎn)處的值來表示.

無獨(dú)有偶,在平面區(qū)域上的二重積分也可以通過沿區(qū)域的邊界曲線上的曲線積分來表示,這便是我們要介紹的格林公式.
1,單連通區(qū)域的概念
　　設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分區(qū)域都屬于D,則D稱為平面單連通區(qū)域;否則稱為復(fù)連通區(qū)域. 　　通俗地講,單連通區(qū)域是不含"洞"(包括"點(diǎn)洞")與"裂縫"的區(qū)域.
2,區(qū)域的邊界曲線的正向規(guī)定
　　設(shè)是平面區(qū)域的邊界曲線,規(guī)定的正向?yàn)?當(dāng)觀察者沿的這個方向行走時(shí),內(nèi)位于他附近的那一部分總在他的左邊. 　　簡言之:區(qū)域的邊界曲線之正向應(yīng)適合條件,人沿曲線走,區(qū)域在左手.
3,格林公式
　　【定理】設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成,函數(shù)及在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有 　　(1) ∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy 　　其中是的取正向的邊界曲線. 　　公式(1)叫做格林(green)公式. 　　【證明】先證 　　假定區(qū)域的形狀如下(用平行于軸的直線穿過區(qū)域,與區(qū)域邊界曲線的交點(diǎn)至多兩點(diǎn)) 　　易見,圖二所表示的區(qū)域是圖一所表示的區(qū)域的一種特殊情況,我們僅對圖一所表示的區(qū)域給予證明即可. 　　另一方面,據(jù)對坐標(biāo)的曲線積分性質(zhì)與計(jì)算法有 　　因此 　　再假定穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于軸的直線與的的邊界曲線的交點(diǎn)至多是兩點(diǎn),用類似的方法可證 　　綜合有 　　當(dāng)區(qū)域的邊界曲線與穿過內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸( 軸或軸 )的任何直線的交點(diǎn)至多是兩點(diǎn)時(shí),我們有格林公式
, 　　同時(shí)成立. 　　將兩式合并之后即得格林公式 　　注:若區(qū)域不滿足以上條件,即穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸的直線與邊界曲線的交點(diǎn)超過兩點(diǎn)時(shí),可在區(qū)域內(nèi)引進(jìn)一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區(qū)域,使得每個部分區(qū)域適合上述條件,仍可證明格林公式成立. 　　格林公式溝通了二重積分與對坐標(biāo)的曲線積分之間的聯(lián)系,因此其應(yīng)用十分地廣泛.
編輯本段二,平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件
1,對坐標(biāo)的曲線積分與路徑無關(guān)的定義
　　【定義一】設(shè)是一個開區(qū)域, 函數(shù),在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),如果對于內(nèi)任意兩點(diǎn),以及內(nèi)從點(diǎn)到點(diǎn)的任意兩條曲線,等式 　　恒成立,就稱曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān);否則,稱與路徑有關(guān). 　　定義一還可換成下列等價(jià)的說法 　　若曲線積分與路徑無關(guān), 那么 　　即: 在區(qū)域內(nèi)由所構(gòu)成的閉合曲線上曲線積分為零.反過來,如果在區(qū)域內(nèi)沿任意閉曲線的曲線積分為零,也可方便地導(dǎo)出在內(nèi)的曲線積分與路徑無關(guān). 　　【定義二】曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān)是指,對于內(nèi)任意一條閉曲線,恒有 　　.
2,曲線積分與路徑無關(guān)的條件
　　【定理】設(shè)開區(qū)域是一個單連通域, 函數(shù),在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)的充分必要條件是等式 　　在內(nèi)恒成立. 　　證明:先證充分性 　　在內(nèi)任取一條閉曲線,因單連通,故閉曲線所圍成的區(qū)域全部在內(nèi).從而 在上恒成立. 　　由格林公式,有 　　依定義二,在內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān). 　　再證必要性(采用反證法) 　　假設(shè)在內(nèi)等式不恒成立,那么內(nèi)至少存在一點(diǎn),使 　　不妨設(shè) 　　由于在內(nèi)連續(xù),在內(nèi)存在一個以為圓心,半徑充分小的圓域,使得在上恒有 　　由格林公式及二重積分性質(zhì)有 　　這里是的正向邊界曲線,是的面積. 　　這與內(nèi)任意閉曲線上的曲線積分為零的條件相矛盾.故在內(nèi)等式 　　應(yīng)恒成立. 　　注明:定理所需要的兩個條件 　　缺一不可. 　　【反例】討論 ,其中是包圍原點(diǎn)的一條分段光滑曲線且正向是逆時(shí)針的. 　　這里 　　, 　　除去原點(diǎn)外,在所圍成的區(qū)域內(nèi)存在,連續(xù),且 . 　　在內(nèi),作一半徑充分小的圓周 　　在由與所圍成的復(fù)連通域內(nèi)使用格林公式有
編輯本段三,二元函數(shù)的全微分求積
　　若曲線積分在開區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān),那它僅與曲線的起點(diǎn)與終點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān).假設(shè)曲線的起點(diǎn)為,終點(diǎn)為,可用記號 　　或 　　來表示,而不需要明確地寫出積分路徑. 　　顯然,這一積分形式與定積分非常相似, 事實(shí)上,我們有下列重要定理 　　【定理一】設(shè)是一個單連通的開區(qū)域,函數(shù),在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且 ,則格林公式
是的單值函數(shù),這里為內(nèi)一固定點(diǎn),且 　　亦即 　　【證明】依條件知,對內(nèi)任意一條以點(diǎn)為起點(diǎn),點(diǎn)為終點(diǎn)的曲線,曲線積分 與路徑無關(guān),僅與的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān),亦即, 確為點(diǎn)的單值函數(shù). 　　下面證明 　　由于可以認(rèn)為是從點(diǎn)沿內(nèi)任何路徑到點(diǎn)的曲線積分,取如下路徑,有 　　類似地可證明 　　因此 　　【定理二】設(shè)是單連通的開區(qū)域,在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)為某一函數(shù)全微分的充要條件是 　　在內(nèi)恒成立. 　　【證明】顯然,充分性就是定理一 　　下面證明必要性 　　若存在使得 ,則 　　由于 ,在 內(nèi)連續(xù), 則二階混合偏導(dǎo)數(shù)適合等式 　　從而 　　【定理三】設(shè)是一個單連通的開區(qū)域, 函數(shù),在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 若存在二元函數(shù)使得 　　則 　　其中,是內(nèi)的任意兩點(diǎn). 　　【證明】由定理1知,函數(shù) 　　適合 　　于是 或 　　因此 (是某一常數(shù) ) 　　即 　　而 　　這是因?yàn)橛牲c(diǎn)沿任意內(nèi)的路徑回到點(diǎn)構(gòu)成一條封閉曲線,故 　　因此 □ 　　【確定的全微分函數(shù)的方法】 　　因?yàn)?而右端的曲線積分與路徑無關(guān),為了計(jì)算簡便,可取平行于坐標(biāo)軸的直線段所連成的折線作為積分路徑(當(dāng)然折線應(yīng)完全屬于單連通區(qū)域). 　　------------------------------------------------------- 　　【證明】先證 　　假定區(qū)域的形狀如下(用平行于軸的直線穿過區(qū)域,與區(qū)域邊界曲線的交點(diǎn)至多兩點(diǎn)) 　　易見,圖二所表示的區(qū)域是圖一所表示的區(qū)域的一種特殊情況,我們僅對圖一所表示的區(qū)域給予證明即可. 　　另一方面,據(jù)對坐標(biāo)的曲線積分性質(zhì)與計(jì)算法有 　　因此 　　再假定穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于軸的直線與的的邊界曲線的交點(diǎn)至多是兩點(diǎn),用類似的方法可證 　　綜合有 　　當(dāng)區(qū)域的邊界曲線與穿過內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸( 軸或軸 )的任何直線的交點(diǎn)至多是兩點(diǎn)時(shí),我們有 　　, 　　同時(shí)成立. 　　將兩式合并之后即得格林公式 　　注:若區(qū)域不滿足以上條件,即穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸的直線與邊界曲線的交點(diǎn)超過兩點(diǎn)時(shí),可在區(qū)域內(nèi)引進(jìn)一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區(qū)域,使得每個部分區(qū)域適合上述條件,仍可證明格林公式成立.