結(jié)論是不對的,比如p=q=0的時候有n個實(shí)根,因?yàn)榱?xí)慣上多項(xiàng)式的根是要計重數(shù)的,所以需要適當(dāng)修正一下：
當(dāng)n為偶數(shù)時至多有兩個 不同的 實(shí)根,當(dāng)n為奇數(shù)至多有三個 不同的 實(shí)根.
首先,若f(x)=x^n+px+q至少有四個不同的實(shí)根,利用兩次Rolle定理可得f''(x)至少有兩個不同的實(shí)根,但是f''(x)=n(n-1)x^{n-2}只有x=0一個零點(diǎn),矛盾.
當(dāng)n是偶數(shù)時,若f(x)至少有三個不同的實(shí)根,用一次Rolle定理得f'(x)至少有兩個不同的實(shí)根,然而f'(x)=nx^{n-1}+p單調(diào),最多只有一個零點(diǎn),矛盾.