設(shè)f(x)=1/3x^3+1/2x^2+2ax,若f(x)在(2/3,正無(wú)窮)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求a的取值范圍

數(shù)學(xué)人氣：731 ℃時(shí)間：2019-08-21 00:30:59

優(yōu)質(zhì)解答

函數(shù)f(x)=(1/3)x³+(1/2)x²+2ax.
求導(dǎo),f'(x)=x²+x+2a.
由題設(shè)可知：
關(guān)于x的不等式x²+x+2a≥0.
其解集M與區(qū)間(2/3,+∞)的交集非空.
或者說(shuō),不等式2a≥-(x²+x)
必有解在區(qū)間(2/3,+∞)內(nèi).
∴問(wèn)題可化為,求函數(shù)g(x)=-x²-x在(2/3,+∞)上的最大值（或上確界）.
顯然,在(2/3,+∞)上,恒有：g(x)＜g(2/3)=-10/9.
∴應(yīng)有：2a≥-10/9
∴a≥-5/9