證明：
令xi=2yi,其中i=1,2,…,n
從而X1X2…Xn=（2y1)(2y2)…(2yn)=2^n(y1y2…yn)=1
從而y1y2…yn=1/2^n=（1/2）^n=0.5^n
又因為
(2+X1)(2+X2)...(2+Xn)
=(2+2y1)(2+2y2)...(2+2yn)
=2^n(1+y1)(1+y2)...(1+yn)
所以要證明(2+X1)(2+X2)...(2+Xn)>=3^n
只需證明2^n(1+y1)(1+y2)...(1+yn)>=3^n
即(1+y1)(1+y2)...(1+yn)≥3^n/2^n=（3/2）^n
由二項式定理,可得
（3/2）^n=（1+0.5)^n
=1+n×0.5
+0.5²n(n-1)/2
+…
+C(n,t)0.5^n
+…
+0.5^n ①
上式中的C(n,t)為從n個元素中取出t個元素的組合數(shù).
又可知
(1+y1)(1+y2)...(1+yn)
=1+（y1+y2+...yn)
+(y1y2+y1y3+...+y(n-1)yn)
+…
+(y1y2…yt+…）
+…
+y1y2…yn ②
上式中（y1y2…yt+…）表示從y1到y(tǒng)n這n個數(shù)中取t個數(shù),相乘,再把所有這樣的乘積相加
下面我們來證明②式中的每一項都大于或等于①式中的對應(yīng)項.
第一項,都是1,是成立的.
第二項,由均值不等式,
（y1+y2+...yn）/n≥(y1y2…yn)^(1/n)= (0.5^n)^(1/n)=0.5
即y1+y2+...yn≥n×0.5
是成立的.
...
第t+1項（即一般項）,同樣由均值不等式,
(y1y2…yt+…）/C(n,t)≥[（y1y2…yt）×…]^（1/C(n,t)）
=[（y1y2…yn）^C(n-1,t-1)]^（1/C(n,t)）
=（y1y2…yn）^（t/n)
=（0.5^n）^（t/n)
=0.5^t ③
即(y1y2…yt+…）≥C(n,t)0.5^n
結(jié)論是成立的.
③式中的C(n-1,t-1)是說,把所有C(n,t）個這樣y1y2…yt類型的式子相乘后,從y1到y(tǒng)n,都會重復(fù)得乘C(n-1,t-1)遍.
...
最后一項（第n+1項）,都是y1y2…yn,結(jié)論是成立的.
證完.
注一：其實只需證明一般項即可.寫出第一、二和第n+1項,是為了理解起來更直觀.
注二：容易看出,用上面的證明思路可以證明更一般一些的結(jié)論：
已知X1X2…Xn=1,且X1,X2…Xn都是正數(shù),對任意正數(shù)m,有
(m+X1)(m+X2)...(m+Xn)≥(m+1)^n
當(dāng)然也可推廣到更一般一些的結(jié)論：
已知X1X2…Xn=p^n,且X1,X2…Xn都是正數(shù),對任意正數(shù)m,有
(m+X1)(m+X2)...(m+Xn)≥(m+p)^n
等號都是在x1=x2=...=xn時成立.