首先,x1,x2,……xn不可能全不為1或-1,否則|x1x2……xn|>|x1|+|x2|+……+|xn|>n
若n為奇數(shù),則x1,x2,……xn除了有限個絕對值不為1的數(shù)外,其余都為1和-1
而這些絕對值不為1的數(shù)必然都是奇數(shù)
若有偶數(shù)個這樣的數(shù),則無論其正負如何,其代數(shù)和只能為偶數(shù),而n是奇數(shù),故
1和-1總共有奇數(shù)個,它們的代數(shù)和不可能為偶數(shù),矛盾.
若有奇數(shù)個這樣的數(shù),則無論其正負如何,其代數(shù)和只能為奇數(shù),但有偶數(shù)個1和
-1,也矛盾.
若2|n但4不整除n,那x1,x2,……xn中除了一個數(shù)為2或-2外,其余為奇數(shù)或±1,
若有偶數(shù)個奇數(shù),則其代數(shù)和為偶數(shù),加上±2后仍為偶數(shù),但只有奇數(shù)個±1,
矛盾.
若有奇數(shù)個奇數(shù),則其代數(shù)和為奇數(shù),加上±2后仍為奇數(shù),但只有偶數(shù)個±1,
矛盾.
故4|n