§2 矢量的加減法
一 矢量的加法：
定義1 設(shè) 、 ,以 與 為邊作一平行四邊形 ,取對(duì)角線矢量 ,記 ,如圖1-3,稱 為 與 之和,并記作
這種用平行四邊形的對(duì)角線矢量來規(guī)定兩個(gè)矢量之和的方法稱作矢量加法的平行四邊形法則.
如果矢量 與矢量 在同一直線上,那么,規(guī)定它們的和是這樣一個(gè)矢量：
若 與 的指向相同時(shí),和向量的方向與原來兩矢量相同,其模等于兩矢量的模之和（圖1-4）.
若 與 的指向相反時(shí),和矢量的模等于兩矢量的模之差,其方向與模值大的矢量方向一致（圖1-5）.
由于平行四邊形的對(duì)邊平行且相等,可以這樣來作出兩矢量的和矢量：
定義2 作 ,以 的終點(diǎn)為起點(diǎn)作 ,聯(lián)接 （圖1-6）得
.（1.2-1）
該方法稱作矢量加法的三角形法則.
矢量加法的三角形法則的實(shí)質(zhì)是：
將兩矢量的首尾相聯(lián),則一矢量的首與另一矢量的尾的連線就是兩矢量的和矢量.
據(jù)矢量的加法的定義,可以證明矢量加法具有下列運(yùn)算規(guī)律：
定理 矢量的加法滿足下面的運(yùn)算律：
1、交換律 ,（1.2-2）
2、結(jié)合律 .（1.2-3）
證 交換律的證明從矢量的加法定義即可得證,結(jié)合律的證明從圖1-7可得證.
二 矢量的減法
定義3 若 ,則我們把 叫做 與 的差,記為
顯然,,
特別地,.
由三角形法則可看出：要從 減去 ,只要把與 長(zhǎng)度相同而方向相反的矢量 加到矢量 上去.由平行四邊形法則,可如下作出矢量 （圖1-8）.
例1 設(shè)互不共線的三矢量 、 與 ,試證明順次將它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個(gè)三角形的充要條件是它們的和是零矢量.
證 必要性 設(shè)三矢量 、 、 可以構(gòu)成三角形 （圖1-9）,
即有
,
那么,
即 .
充分性 設(shè) ,作 那么 ,所以 ,從而 ,所以 、 、 可以構(gòu)成三角形 .
例2 用矢量法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
證 設(shè)四邊形 的對(duì)角線 、
交于 點(diǎn)且互相平分（圖1-10）
因此從圖可看出：
,
所以,‖ ,且 ,
即四邊形 為平行四邊形.