AP+BP+CP＞AB+AC
在三角形所在的平面內(nèi),我們能找到一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離和最短,這個(gè)點(diǎn)就是所說的費(fèi)馬點(diǎn).本題里面的鈍角剛好等于120度,因些頂點(diǎn)A就是費(fèi)馬點(diǎn)
所以其它任意一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離和都比這點(diǎn)到三個(gè)大頂點(diǎn)的距離和大,所以
AP+BP+CP＞AB+AC
幾何證明方法
把三角形APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到三角形ADE的位置,使AD與AC在同一條直線上,連接PE
∵∠BAC=120度
∴∠DAB=60度
∴∠PAE=60度
∵AP=AE
∴三角形APE是等邊三角形
∴PE=APED=PBAB=AD
∴AB+AC=AC+AD
∵AP+BP+CP=EP+ED+CP
連接PD
∴EP+ED≥PD
∴EP+ED+CP＞PD+CP＞AB+AC
即AP+BP+CP＞AB+AC