1 因直徑AB=AP+BP=2+6=8,所以半徑OA=8/2=4,OP=OA-AP=4-2=2.又角MPB=45度,故作OH垂直MN,垂足為H,三角形OHP是等腰直角三角形.OH=HP,而OH^2+PH^2=OP^2,所以,OH=PH=OP/(根號(hào)2)=根號(hào)2.再,過(guò)圓心的垂直弦平分弦,故MH=NH,連接OM,在直角三角形OHM中,利用勾股定理,MH^2=MO^2-OH^2=4^2-(根號(hào)2)^2=14,MH=根號(hào)14,因此,MP=根號(hào)14-根號(hào)2,NP=根號(hào)14+根號(hào)2,MN=2根號(hào)14.2 若MP=3,NP=5,那么,MN=3+5=8,MH=8/2=4,PH=1.由于三角形OHP是等腰直角三角形,OH=HP=1,在直角三角形MHO中利用勾股定理,OM^2=OH^2+MH^2=1+4^2=17,所以,OM=根號(hào)17,直徑AB=2根號(hào)17.
3 因MH=NH,OH=HP,OH垂直MN,那么PM^2+PN^2=(MH-HP)^2+(PH+HN)^2=(MH-HP)^2+(MH+HP)^2=2(MH^2+HP^2)=2(MH^2+HO^2)=2OM^2所以,(PM^2+PN^2)/AB^2=2OM^2/(2OM)^2=1/2.可見(jiàn),P變化時(shí),比值不變,總為1/2.